Практические и прикладные задачи Глава 8 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
2. Номера автомашин состоят из трёх любых цифр (не бывает только номера 000). Победителю автогонок дали право выбрать номер для своей машины. Из скольких номеров он может выбрать, если решит: 1) не брать номер, содержащий хотя бы одну цифру 2; 2) не брать номер, содержащий хотя бы одну из цифр 6 или 9?
3. Каждая из букв Л, О, Я, Г записаны на своей карточке. Маленькая девочка Оля из этих карточек составляет трёхбуквенные слова, выкладывая 3 карточки в ряд случайным образом. Какое наибольшее количество таких слов выложит Оля, прежде чем буквы образуют её имя?
4. В азбуке Морзе, которой пользуются для телеграфных сообщений, два
знака — точка и тире. Каждая буква или цифра кодируется определённой комбинацией (последовательностью) точек и тире, но не более чем пятью знаками подряд. Какое максимальное число букв, цифр или других знаков можно закодировать с помощью азбуки Морзе?
5. Азбука для слепых, которую придумал французский тифлопедагог Луи Брайль (1809—1852), — это рельефно-точечный шрифт, который легко осязается. В его основе — комбинации из 6 точек. Этими точками кодируются буквы, цифры, ноты и т. п. Сколько различных символов можно закодировать азбукой Брайля?
6. Разгадывая тайну генетического кода, американский учёный Г. Гамов поставил себе задачу: «Как с помощью 4 видов нуклеидов (аденин, гуанин, тимин и цитозин) можно закодировать 20 видов аминокислот?» Гамов кодировал первоначально аминокислоты парами нуклеидов (АА, АГ, АТ и т.д.). Хватило ли ему комбинаций таких пар для кодирования? Сколько видов мог закодировать Гамов, когда нуклеиды объединял тройками? Информация: чисто комбинаторные попытки разгадать тайну генетического кода оказались для учёных безуспешными.
7. Группу из 12 детей детского сада ежедневно выводят на прогулку парами. Сколько дней воспитатель может гулять с детьми так, чтобы ни в один из этих дней не было одинаковых по составу пар (считать, что все дни все дети посещают детский сад)?
8. В чемпионате по футболу, в котором участвуют 7 команд, разыгрываются 3 медали: золотая, серебряная и бронзовая. Перед началом игр болельщики пытались предугадать, как распределятся медали. Какое наибольшее число различных вариантов распределения медалей могли выдвинуть болельщики?
9. Найти число способов расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не могли бить друг друга.
10. Завершить составление магического квадрата (рис.50).
11. Завершить составление латинского квадрата (рис.51).
Число последовательностей старта равно числу перестановок из $$n$$ лыжников:
$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720,$$
$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320.$$
Всего трёхзначных номеров, кроме $$000$$, можно составить:
$$10^3 — 1 = 999.$$
1) Если не брать номера, содержащие цифру $$2$$, то на каждой из трёх позиций остаётся по $$9$$ вариантов:
$$9^3 — 1 = 729 — 1 = 728.$$
2) Если не брать номера, содержащие хотя бы одну из цифр $$6$$ или $$9$$, то на каждой позиции остаётся по $$8$$ вариантов:
$$8^3 — 1 = 512 — 1 = 511.$$
Из букв $$Л, О, Я, Г$$ составляются трёхбуквенные слова без повторений:
$$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.$$
Слово $$ОЛЯ$$ появится одним из них, значит, до этого можно выложить не более
$$24 — 1 = 23$$ слова.
В азбуке Морзе каждый знак — это последовательность из точки и тире длиной от 1 до 5.
Число таких последовательностей:
$$2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.$$
В азбуке Брайля используется 6 позиций, каждая из которых может быть либо выпуклой точкой, либо пустой.
Всего символов:
$$2^6 = 64.$$
При кодировании парами нуклеидов число комбинаций равно:
$$4^2 = 16.$$
Этого недостаточно для кодирования $$20$$ аминокислот.
При кодировании тройками:
$$4^3 = 64.$$
Каждый день воспитатель выбирает пару детей из $$12$$, то есть число возможных пар:
$$C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66.$$
За один день образуется $$6$$ пар, значит, число дней без повторения пар:
$$\frac{66}{6} = 11.$$
Медали распределяются по трём местам: золото, серебро, бронза.
На первое место можно выбрать одну из $$7$$ команд, на второе — одну из $$6$$, на третье — одну из $$5$$:
$$7 \cdot 6 \cdot 5 = 210.$$
Чтобы 8 ладей не били друг друга, их ставят по одной в каждую строку и каждый столбец.
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов:
$$8! = 40320.$$
Для магического квадрата $$3 \times 3$$ сумма в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна $$15$$.
Подходящие заполнения:
6 1 8 7 5 3 2 9 4 и
2 7 6 9 5 1 4 3 8 Латинский квадрат $$3 \times 3$$ составляется из чисел $$1, 2, 3$$ так, чтобы в каждой строке и каждом столбце каждое число встречалось по одному разу.
Подходящие заполнения:
3 1 2 1 2 3 2 3 1 или
2 1 3 1 3 2 3 2 1 или
3 1 2 1 2 3 2 3 1
Ответ
1) $$720$$; $$40320$$. 2) $$728$$; $$511$$. 3) $$23$$. 4) $$62$$. 5) $$64$$. 6) Пары — недостаточно; тройки — $$64$$. 7) $$11$$ дней. 8) $$210$$. 9) $$40320$$. 10) Квадраты заполнены как указано выше. 11) Квадраты заполнены как указано выше.
