Практические и прикладные задачи Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
2. Сколько сахара нужно добавить к 8 л воды, чтобы получить 10 %-ный раствор?
3. От дома до дачи велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Обратно он возвращался со скоростью 8 км/ч. Найти среднюю скорость движения велосипедиста за время всей поездки, если расстояние от дома до дачи равно 6 км.
4. Из пункта A в пункт B катер двигался со скоростью 20 км/ч, а на обратном пути из B в A — со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость катера на пути из A и B и обратно?
5. Сопротивление R участка цепи, состоящего из трех параллельно соединенных проводников с сопротивлениями R_1, R_2 и R_3, находится из формулы 1/R=1/R_1+1/R_2+1/R_3. Выразить из формулы:
1) R через R_1, R_2 и R_3; 2) R_3 через R, R_1 и R_2.
6. Расстояние s, которое проходит тело при равноускоренном движении с ускорением a за время t, имея начальную скорость v_0, находится по формуле s=v_0 t+at^2/2. Выразить из этой формулы v_0 и найти его значение, если s=150 м, a=2 м/с^2, t=10 с/
7. Сила притяжения F между двумя телами с массами m и M, находящимися на расстоянии R, вычисляется по формуле F=? mM/R^2, где ? — гравитационная постоянная. Выразить m.
8. Как с помощью чашечных весов, набор гирь и сосуда, наполненного водой, определить плотность камня ?_к, умещающегося в этом сосуде, если объем камня невозможно измерить непосредственно?
Пусть масса сахара равна $$x$$ кг. Тогда масса раствора $$6+x$$ кг. По условию сахар составляет $$25\%$$ раствора, значит
$$\frac{x}{6+x}=\frac{25}{100}=\frac14.$$
Решаем уравнение:
$$4x=6+x$$
$$3x=6$$
$$x=2.$$
Пусть нужно добавить $$x$$ кг сахара. Тогда масса раствора $$8+x$$ кг, а сахар составляет $$10\%$$:
$$\frac{x}{8+x}=\frac{10}{100}=\frac1{10}.$$
Тогда
$$10x=8+x$$
$$9x=8$$
$$x=\frac89.$$
Весь путь равен
$$6+6=12\text{ км}.$$
Время в пути:
$$\frac{6}{12}+\frac{6}{8}=0{,}5+0{,}75=1{,}25\text{ ч}.$$
Средняя скорость:
$$v=\frac{12}{1{,}25}=9{,}6\text{ км/ч}.$$
Пусть расстояние от $A$ до $B$ равно $$x$$ км. Тогда весь путь равен $$2x$$ км, а время движения:
$$\frac{x}{20}+\frac{x}{30}=\frac{3x+2x}{60}=\frac{5x}{60}=\frac{x}{12}\text{ ч}.$$
Средняя скорость:
$$v=\frac{2x}{x/12}=24\text{ км/ч}.$$
Из формулы
$$\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}$$
получаем
$$\frac1R=\frac{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3},$$
откуда
$$R=\frac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}.$$
Для $$R_3$$:
$$\frac1{R_3}=\frac1R-\frac1{R_1}-\frac1{R_2}$$
$$\frac1{R_3}=\frac{R_1R_2-RR_2-RR_1}{RR_1R_2}$$
$$R_3=\frac{RR_1R_2}{R_1R_2-RR_2-RR_1}.$$
Из формулы
$$s=v_0t+\frac{at^2}{2}$$
выразим $$v_0$$:
$$v_0=\frac{s-\frac{at^2}{2}}{t}=\frac{2s-at^2}{2t}.$$
Подставим значения:
$$v_0=\frac{2\cdot150-2\cdot10^2}{2\cdot10}=\frac{300-200}{20}=5\text{ м/с}.$$
Из формулы
$$F=\gamma\frac{mM}{R^2}$$
выразим $$m$$:
$$m=\frac{FR^2}{\gamma M}.$$
Найдём массу камня с помощью весов. Затем опустим камень в сосуд, наполненный водой до краёв, и измерим массу сосуда с оставшейся водой. Масса вытесненной воды равна разности масс до и после погружения камня.
Если $$m_1$$ — масса сосуда с водой до погружения камня, $$m_2$$ — масса сосуда с оставшейся водой после извлечения камня, а $$m_k$$ — масса камня, то масса вытесненной воды равна $$m_1-m_2$$. Тогда объём камня
$$V_k=\frac{m_1-m_2}{\rho_{\text{в}}},$$
где $$\rho_{\text{в}}$$ — плотность воды. Следовательно, плотность камня
$$\rho_k=\frac{m_k}{V_k}=\frac{m_k\rho_{\text{в}}}{m_1-m_2}.$$
Ответ
1) $$x=2$$ кг; 2) $$x=\frac89$$ кг; 3) $$9{,}6$$ км/ч; 4) $$24$$ км/ч; 5) $$R=\frac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3},\quad R_3=\frac{RR_1R_2}{R_1R_2-RR_2-RR_1}$$; 6) $$v_0=\frac{2s-at^2}{2t}=5$$ м/с; 7) $$m=\frac{FR^2}{\gamma M}$$; 8) $$\rho_k=\frac{m_k\rho_{\text{в}}}{m_1-m_2}$$.
