Практические и прикладные задачи Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
- Длина прямоугольника на $$5$$ см больше его ширины. Если длину прямоугольника увеличить на $$4$$ см, а ширину — на $$2$$ см, то площадь увеличится на $$42\ \text{см}^2$$. Найти длину и ширину данного прямоугольника.
- Сторона первого квадрата на $$13$$ см больше стороны второго квадрата, а площадь первого квадрата на $$351\ \text{см}^2$$ больше площади второго квадрата. Найти сторону первого квадрата.
- Площадь земельного участка, имеющего форму квадрата, на $$700\ \text{м}^2$$ больше площади другого участка, имеющего прямоугольную форму. Длина участка прямоугольной формы на $$10$$ м больше, а ширина на $$25$$ м меньше стороны участка, имеющего форму квадрата. Найти длину и ширину участка прямоугольной формы.
- Числовое значение расстояния $$h$$, выраженного в метрах, которое пролетает свободно падающее тело за время $$t$$, выраженное в секундах, от начала падения, на практике часто вычисляют по формуле $$h=5t^2$$. Какое расстояние пролетит свободно падающее тело с момента времени $$T$$ от начала движения за $$5$$ с?
- Даны три последовательных натуральных числа. Произведение первого и второго чисел на $$34$$ меньше квадрата третьего. Найти эти числа.
- Доказать, что квадрат нечётного числа, уменьшенный на $$1$$, делится на $$8$$.
- Доказать, что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа.
- Упростить выражение $$\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)$$.
- Разность кубов каких двух последовательных натуральных чисел равна $$331$$?
Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда длина равна $$x+5$$ см. После увеличения получим стороны $$x+2$$ и $$x+9$$.
По условию площадь увеличилась на $$42$$ см2, значит:
$$x(x+5)+42=(x+2)(x+9)$$
$$x^2+5x+42=x^2+11x+18$$
$$5x+42=11x+18$$
$$24=6x$$
$$x=4$$
Тогда длина прямоугольника:
$$x+5=4+5=9$$
Пусть сторона второго квадрата равна $$x$$ см, тогда сторона первого равна $$x+13$$ см.
По условию разность площадей равна $$351$$ см2:
$$(x+13)^2-x^2=351$$
$$x^2+26x+169-x^2=351$$
$$26x+169=351$$
$$26x=182$$
$$x=7$$
Тогда сторона первого квадрата:
$$x+13=7+13=20$$ см.
Пусть сторона квадратного участка равна $$x$$ м. Тогда длина прямоугольного участка равна $$x+10$$ м, а ширина — $$x-25$$ м.
По условию площадь квадрата на $$700$$ м2 больше площади прямоугольника:
$$x^2-(x+10)(x-25)=700$$
$$x^2-(x^2-15x-250)=700$$
$$15x+250=700$$
$$15x=450$$
$$x=30$$
Тогда:
$$x+10=40$$ м, $$x-25=5$$ м.
Если от начала падения прошло $$T$$ с, то за следующие $$5$$ с тело пролетит:
$$h=5\bigl((T+5)^2-T^2\bigr)$$
$$h=5(T^2+10T+25-T^2)$$
$$h=50T+125$$
Пусть три последовательных натуральных числа: $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$.
По условию:
$$n(n+1)+34=(n+2)^2$$
$$n^2+n+34=n^2+4n+4$$
$$3n=30$$
$$n=10$$
Значит, числа: $$10$$, $$11$$, $$12$$.
Пусть нечетное число равно $$2n+1$$.
Тогда:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, так как это произведение двух последовательных чисел, одно из которых чётное. Значит, $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.
Пусть даны два последовательных натуральных числа: $$n$$ и $$n+1$$.
Тогда:
$$n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)^2$$
Что и требовалось доказать.
Используем формулу:
$$a^2-1=(a-1)(a+1)$$
Тогда:
$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^{32}-1)(2^{32}+1)=2^{64}-1$$
Пусть искомые последовательные числа: $$n$$ и $$n+1$$.
Составим уравнение:
$$(n+1)^3-n^3=331$$
$$3n^2+3n+1=331$$
$$3n^2+3n=330$$
$$n^2+n=110$$
$$n^2+n-110=0$$
$$(n-10)(n+11)=0$$
Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=10$$.
Искомые числа: $$10$$ и $$11$$.
Ответ
- $$9$$ см и $$4$$ см
- $$20$$ см
- $$40$$ м и $$5$$ м
- $$50T+125$$ м
- $$10, 11, 12$$
- доказано
- доказано
- $$2^{64}-1$$
- $$10$$ и $$11$$
