Упр.848 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что если x, y, z положительны, то равенство x^3+y^3+z^3=3xyz является верным только тогда, когда x=y=z.

Преобразуем левую часть равенства:

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=0 $$
$$ \frac12\cdot 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)=0 $$
$$ \frac12(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0 $$
$$ \frac12(x+y+z)\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\bigr)=0. $$

Так как $$x>0,\ y>0,\ z>0,$$ то $$x+y+z>0.$$

Кроме того, суммы квадратов неотрицательны:

$$ (x-y)^2\ge 0,\quad (y-z)^2\ge 0,\quad (x-z)^2\ge 0. $$

Чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0. $$

Это возможно только при

$$ x-y=0,\quad y-z=0,\quad x-z=0, $$
то есть

$$ x=y=z. $$

Следовательно, равенство $$x^3+y^3+z^3=3xyz$$ при положительных $$x,\ y,\ z$$ верно только тогда, когда $$x=y=z.$$

Ответ

Только при $$x=y=z$$.