Упр.848 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$x, y, z$$ положительны, то равенство $$x^3+y^3+z^3=3xyz$$ является верным только тогда, когда $$x=y=z$$.

Преобразуем левую часть равенства:

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$$
$$\frac12\cdot 2(x^3+y^3+z^3-3xyz)=0$$
$$\frac12(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0$$
$$\frac12(x+y+z)\bigl((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\bigr)=0.$$

Так как $$x>0,\ y>0,\ z>0,$$ то $$x+y+z>0.$$

Кроме того, суммы квадратов неотрицательны:

$$(x-y)^2\ge 0,\quad (y-z)^2\ge 0,\quad (x-z)^2\ge 0.$$

Чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0.$$

Это возможно только при

$$x-y=0,\quad y-z=0,\quad x-z=0,$$
то есть

$$x=y=z.$$

Следовательно, равенство $$x^3+y^3+z^3=3xyz$$ при положительных $$x,\ y,\ z$$ верно только тогда, когда $$x=y=z.$$

Ответ

Только при $$x=y=z$$.