Упр.847 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) x^2+y^2;
2) x^3+y^3;
3) x^4+y^4;
4) x^5+y^5.

Пусть $$x+y=a,$$ $$xy=b.$$ Тогда выражаем суммы через $$a$$ и $$b$$.

1) $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.$$

2) $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Так как $$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=a^2-3b,$$ то

$$x^3+y^3=a(a^2-3b)=a^3-3ab.$$

3) $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2.$$

Подставим найденное значение $$x^2+y^2=a^2-2b$$:

$$x^4+y^4=(a^2-2b)^2-2b^2=a^4-4a^2b+2b^2.$$

4) $$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4).$$

После преобразований получаем:

$$x^5+y^5=a\left(a^4-5a^2b+5b^2\right)=a^5-5a^3b+5ab^2.$$

Ответ

$$1)\ a^2-2b; \quad 2)\ a^3-3ab; \quad 3)\ a^4-4a^2b+2b^2; \quad 4)\ a^5-5a^3b+5ab^2.$$