Упр.844 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что равенство x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz является верным только тогда, когда x=y=z.

Преобразуем левую часть равенства:

$$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=0$$

Тогда

$$\frac12\left((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\right)=0$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x-y=0,\quad y-z=0,\quad x-z=0$$

Отсюда

$$x=y=z$$

И наоборот, если $$x=y=z$$, то

$$x^2+y^2+z^2=3x^2,\qquad xy+xz+yz=3x^2,$$

значит, равенство верно.

Ответ

Равенство $$x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz$$ верно тогда и только тогда, когда $$x=y=z$$.