Упр.843 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Доказать, что равенство $$4x^2+9y^2-4x+6y+2=0$$ является верным только при $$x=\frac{1}{2}$$, $$y=-\frac{1}{3}$$.

Преобразуем левую часть равенства, выделив полные квадраты:

$$4x^2+9y^2-4x+6y+2=(4x^2-4x+1)+(9y^2+6y+1).$$

Тогда

$$4x^2+9y^2-4x+6y+2=(2x-1)^2+(3y+1)^2.$$

Получаем уравнение

$$(2x-1)^2+(3y+1)^2=0.$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$2x-1=0,\qquad 3y+1=0.$$

Отсюда

$$x=\frac12,\qquad y=-\frac13.$$

Значит, равенство верно только при этих значениях переменных.

Ответ

$$x=\frac12,\ y=-\frac13.$$