Упр.843 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать. что равенство 4x^2+9y^2-4x+6y+2=0 является верным только при x=1/2, y=-1/3.

Преобразуем левую часть равенства, выделив полные квадраты:

$$4x^2+9y^2-4x+6y+2=(4x^2-4x+1)+(9y^2+6y+1).$$

Тогда

$$4x^2+9y^2-4x+6y+2=(2x-1)^2+(3y+1)^2.$$

Получаем уравнение

$$ (2x-1)^2+(3y+1)^2=0. $$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$2x-1=0,\qquad 3y+1=0.$$

Отсюда

$$x=\frac12,\qquad y=-\frac13.$$

Значит, равенство верно только при этих значениях переменных.

Ответ

$$x=\frac12,\ y=-\frac13.$$