Упр.842 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\left(3^{16}+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)(3+1)$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3+1)$$

дополняем каждый множитель до разности квадратов:

$$(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3+1) = \frac{(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3+1)(3-1)}{3-1}.$$

Так как $$3-1=2,$$ получаем

$$=\frac{(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3^2-1)}{2}.$$

Далее снова применяем формулу разности квадратов:

$$(3^2+1)(3^2-1)=3^4-1,$$

поэтому

$$=\frac{(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^4-1)}{2}.$$

Аналогично:

$$(3^4+1)(3^4-1)=3^8-1,$$

тогда

$$=\frac{(3^{16}+1)(3^8+1)(3^8-1)}{2}.$$

Снова:

$$(3^8+1)(3^8-1)=3^{16}-1,$$

получаем

$$=\frac{(3^{16}+1)(3^{16}-1)}{2}.$$

И наконец:

$$(3^{16}+1)(3^{16}-1)=3^{32}-1.$$

Следовательно,

$$(3^{16}+1)(3^8+1)(3^4+1)(3^2+1)(3+1)=\frac{3^{32}-1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{3^{32}-1}{2}$$