Упр.841 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что при любых значениях x и y, не равных 0, значение выражения x^2 -xy+2/7 y^2 положительно.

Преобразуем выражение:

$$x^2-xy+\frac{2}{7}y^2=x^2-xy+\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{4}y^2+\frac{2}{7}y^2$$

$$=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2-\frac{1}{4}y^2+\frac{2}{7}y^2=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{1}{28}y^2$$

Оба слагаемых неотрицательны. Причём при $x \ne 0$ и $y \ne 0$ выражение не может обратиться в нуль, значит оно положительно.

Ответ

$$x^2-xy+\frac{2}{7}y^2=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{1}{28}y^2>0$$ при любых $x \ne 0$ и $y \ne 0$.