Упр.840 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Найти все целые числа n, при которых дробь (n^5+3)/(n^2+1) является целым числом.

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{n^5+3}{n^2+1} = \frac{n^5+n^3-n^3-n+ n+3}{n^2+1} = \frac{n^3(n^2+1)-n(n^2+1)+n+3}{n^2+1} $$

$$ \frac{n^5+3}{n^2+1}=n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}. $$

Чтобы вся дробь была целым числом, нужно, чтобы целым числом была и дробь

$$ \frac{n+3}{n^2+1}. $$

Так как

$$ n^2+1 \le n+3 $$
или
$$ n+3=0, $$
то рассмотрим возможные целые значения $n$.

Из условия делимости получаем:

$$ n^2+1 \mid n+3. $$

Но при целых $n$ это возможно только тогда, когда

$$ n^2+1 \le |n+3|. $$

Проверим целые значения, при которых это может выполняться:

$$ n=-3,\,-1,\,0,\,1,\,2. $$

Подстановка показывает, что во всех этих случаях значение дроби целое.

Ответ

$$ n=-3,\,-1,\,0,\,1,\,2. $$