Упр.840 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Найти все целые числа $$n$$, при которых дробь $$\frac{n^5+3}{n^2+1}$$ является целым числом.

Разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{n^5+3}{n^2+1} = \frac{n^5+n^3-n^3-n+ n+3}{n^2+1} = \frac{n^3(n^2+1)-n(n^2+1)+n+3}{n^2+1}$$

$$\frac{n^5+3}{n^2+1}=n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}.$$

Чтобы вся дробь была целым числом, нужно, чтобы целым числом была и дробь

$$\frac{n+3}{n^2+1}.$$

Так как

$$n^2+1 \le n+3$$
или
$$n+3=0,$$
то рассмотрим возможные целые значения $$n$$.

Из условия делимости получаем:

$$n^2+1 \mid n+3.$$

Но при целых $$n$$ это возможно только тогда, когда

$$n^2+1 \le |n+3|.$$

Проверим целые значения, при которых это может выполняться:

$$n=-3,\,-1,\,0,\,1,\,2.$$

Подстановка показывает, что во всех этих случаях значение дроби целое.

Ответ

$$n=-3,\,-1,\,0,\,1,\,2.$$