Упр.839 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) x^2+2x=y^2+6; 2) x^2-8=y^2+4y.

1) $$x^2+2x=y^2+6$$

Добавим к обеим частям по $$1$$:

$$x^2+2x+1=y^2+7$$

$$ (x+1)^2-y^2=7 $$

Разложим на множители:

$$ (x+1-y)(x+1+y)=7 $$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то оба множителя — целые делители числа $$7$$. Возможны пары:

$$1 \cdot 7,\quad 7 \cdot 1,\quad (-1)\cdot(-7),\quad (-7)\cdot(-1).$$

Решаем соответствующие системы:

1. $$ \begin{cases} x+1-y=1 \\ x+1+y=7 \end{cases} $$

   $$2x+2=8,\quad x=3,\quad y=3.$$

2. $$ \begin{cases} x+1-y=7 \\ x+1+y=1 \end{cases} $$

   $$2x+2=8,\quad x=3,\quad y=-3.$$

3. $$ \begin{cases} x+1-y=-1 \\ x+1+y=-7 \end{cases} $$

   $$2x+2=-8,\quad x=-5,\quad y=-3.$$

4. $$ \begin{cases} x+1-y=-7 \\ x+1+y=-1 \end{cases} $$

   $$2x+2=-8,\quad x=-5,\quad y=3.$$

2) $$x^2-8=y^2+4y$$

Перенесём всё в одну часть и дополним до квадрата:

$$y^2+4y+4=x^2-8+4$$

$$ (y+2)^2-x^2=-4 $$

Разложим на множители:

$$ (y+2-x)(y+2+x)=-4 $$

Рассмотрим делители числа $$-4$$:

$$-1 \cdot 4,\quad 1 \cdot (-4),\quad 2 \cdot (-2),\quad (-2)\cdot 2.$$

Проверим соответствующие системы:

1. $$ \begin{cases} y+2-x=-1 \\ y+2+x=4 \end{cases} $$

   $$2y+4=3,\quad y=-\frac12,$$

   не подходит, так как $$y$$ не целое.

2. $$ \begin{cases} y+2-x=1 \\ y+2+x=-4 \end{cases} $$

   $$2y+4=-3,\quad y=-\frac72,$$

   не подходит.

3. $$ \begin{cases} y+2-x=2 \\ y+2+x=-2 \end{cases} $$

   $$2y+4=0,\quad y=-2,\quad x=-2.$$

4. $$ \begin{cases} y+2-x=-2 \\ y+2+x=2 \end{cases} $$

   $$2y+4=0,\quad y=-2,\quad x=2.$$

Ответ

1) $$ (3; 3),\ (3; -3),\ (-5; -3),\ (-5; 3) $$

2) $$ (-2; -2),\ (2; -2) $$