Упр.837 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Вычислить сумму $$S=\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{4\cdot6}+?+\frac{1}{96\cdot98}+\frac{1}{98\cdot100}$$.

Запишем каждый член суммы в виде разности:

$$\frac{1}{2\cdot 4}=\frac12\left(\frac12-\frac14\right),\quad \frac{1}{4\cdot 6}=\frac12\left(\frac14-\frac16\right),\quad \ldots,\quad \frac{1}{98\cdot 100}=\frac12\left(\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right).$$

Тогда

$$S=\frac12\left(\frac12-\frac14+\frac14-\frac16+\cdots+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right).$$

Внутри скобок все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся

$$S=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{100}\right).$$

Вычислим:

$$S=\frac12\cdot\frac{50-1}{100}=\frac12\cdot\frac{49}{100}=\frac{49}{200}.$$

Ответ

$$\frac{49}{200}$$