Упр.836 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Вычислить сумму S=1/(3•5)+1/(5•7)+?+1/(99•101)+1/(101•103).

Подробный ответ

Представим каждый дробный множитель в виде разности:

$$ \frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right),\quad \frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right),\quad \ldots,\quad \frac{1}{101\cdot 103}=\frac12\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{103}\right). $$

Тогда сумма принимает вид:

$$ S=\frac12\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{103}\right). $$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$ S=\frac12\left(\frac13-\frac{1}{103}\right). $$

Вычислим:

$$ S=\frac12\cdot \frac{103-3}{3\cdot 103} =\frac12\cdot \frac{100}{309} =\frac{50}{309}. $$