Упр.836 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Вычислить сумму $$S=\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+?+\frac{1}{99\cdot101}+\frac{1}{101\cdot103}$$.

Представим каждый дробный множитель в виде разности:

$$\frac{1}{3\cdot 5}=\frac12\left(\frac13-\frac15\right),\quad \frac{1}{5\cdot 7}=\frac12\left(\frac15-\frac17\right),\quad \ldots,\quad \frac{1}{101\cdot 103}=\frac12\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{103}\right).$$

Тогда сумма принимает вид:

$$S=\frac12\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{103}\right).$$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$S=\frac12\left(\frac13-\frac{1}{103}\right).$$

Вычислим:

$$S=\frac12\cdot \frac{103-3}{3\cdot 103} =\frac12\cdot \frac{100}{309} =\frac{50}{309}.$$

Ответ

$$\frac{50}{309}$$