Упр.834 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при любых натуральных $$m$$ и $$n$$ значение выражения $$(3m+n+5)^5(5m+7n+2)^4$$ делится на $$16$$.

Рассмотрим выражение $$\left(3m+n+5\right)^5\left(5m+7n+2\right)^4.$$

Заметим, что по чётности возможны два случая.

1. Если числа $$m$$ и $$n$$ одной чётности, то $$5m+7n+2$$ — чётное число. Тогда

   $$\left(5m+7n+2\right)^4$$ делится на $$2^4=16.$$

2. Если одно из чисел $$m$$ и $$n$$ чётное, а другое нечётное, то $$3m+n+5$$ — чётное число. Тогда

   $$\left(3m+n+5\right)^5$$ делится на $$2^5=32,$$ а значит, и на $$16.$$

В обоих случаях произведение $$\left(3m+n+5\right)^5\left(5m+7n+2\right)^4$$ делится на $$16.$$

Ответ

$$\left(3m+n+5\right)^5\left(5m+7n+2\right)^4$$ делится на $$16$$ при любых натуральных $$m$$ и $$n$$.