Упр.833 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) значение выражения n^3+3n^2+5n+105 делится на 3;
2) значение выражения n^3+12n^2+23n делится на 6.

1. Преобразуем выражение:

   $$n^3+3n^2+5n+105=n^3-n+3n^2+6n+105$$

   $$=n(n^2-1)+3(n^2+2n+35)=(n-1)n(n+1)+3(n^2+2n+35).$$

   Произведение $$ (n-1)n(n+1) $$ — это произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит, одно из них делится на $$3$$. Следовательно, всё произведение делится на $$3$$.

   Слагаемое $$3(n^2+2n+35)$$ тоже делится на $$3$$.

   Значит, выражение $$n^3+3n^2+5n+105$$ делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$.

2. Преобразуем выражение:

   $$n^3+12n^2+23n=n^3-n+12n^2+24n$$

   $$=n(n^2-1)+12n(n+2)=(n-1)n(n+1)+12n(n+2).$$

   Произведение $$ (n-1)n(n+1) $$ — это произведение трёх последовательных натуральных чисел, поэтому одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, всё произведение делится на $$6$$.

   Слагаемое $$12n(n+2)$$ также делится на $$6$$.

   Следовательно, выражение $$n^3+12n^2+23n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) Делится на $$3$$. 2) Делится на $$6$$.