Упр.831 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что число ?10?^23+?10?^19-182 делится на 18.

Подробный ответ

Рассмотрим число $$10^{23}+10^{19}-182.$$

Оно делится на $$2,$$ так как каждое слагаемое делится на $$2.$$

Проверим делимость на $$9.$$ Представим число так:

$$10^{23}+10^{19}-182=10^{23}+10^{19}-180-2.$$

Так как $$10^n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n,$$ то

$$10^{23}-1 \text{ и } 10^{19}-1$$ делятся на $$9.$$

Тогда

$$10^{23}+10^{19}-182=(10^{23}-1)+(10^{19}-1)-180.$$

Числа $$10^{23}-1$$ и $$10^{19}-1$$ кратны $$9,$$ а число $$180$$ кратно $$18,$$ значит, оно тоже кратно $$9.$$ Следовательно, всё число делится на $$9.$$

Итак, данное число делится и на $$2,$$ и на $$9,$$ значит, оно делится на $$18.$$