Упр.820 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Задача Авиценны. Доказать, что если число, будучи разделено на $$9$$, даёт в остатке $$1$$ или $$8$$, то квадрат этого числа, делённый на $$9$$, даёт в остатке $$1$$.

Пусть искомое число равно $$a$$.

Если при делении на $$9$$ оно даёт в остатке $$1$$ или $$8$$, то

$$a=9n+1 \quad \text{или} \quad a=9n+8,$$

где $$n$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$a=9n+1$$, то

$$a^2=(9n+1)^2=81n^2+18n+1=9(9n^2+2n)+1.$$

Значит, при делении $$a^2$$ на $$9$$ остаток равен $$1$$.

2) Если $$a=9n+8$$, то

$$a^2=(9n+8)^2=81n^2+144n+64=9(9n^2+16n+7)+1.$$

Следовательно, и в этом случае при делении $$a^2$$ на $$9$$ остаток равен $$1$$.

Итак, если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то его квадрат при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

Ответ

Доказано: $$a^2$$ при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.