Упр.808 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители: 1) $$a^3b^6c^3-1$$; 2) $$8a^3b^3+125c^3$$; 3) $$(a-1)^2+2(a-1)+1$$; 4) $$(4a-1)^2+2(4a-1)+1$$.

1. Представим выражение как разность кубов:

   $$a^3b^6c^3-1=(ab^2c)^3-1^3.$$

   По формуле $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ получаем:

   $$a^3b^6c^3-1=(ab^2c-1)(a^2b^4c^2+ab^2c+1).$$

2. Представим выражение как сумму кубов:

   $$8a^3b^3+125c^3=(2ab)^3+(5c)^3.$$

   По формуле $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$ имеем:

   $$8a^3b^3+125c^3=(2ab+5c)(4a^2b^2-10abc+25c^2).$$

3. Сделаем замену:

   $$t=a-1.$$

   Тогда

   $$(a-1)^2+2(a-1)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2.$$

   Возвращаемся к переменной $$a$$:

   $$((a-1)+1)^2=a^2.$$

4. Сделаем замену:

   $$t=4a-1.$$

   Тогда

   $$(4a-1)^2+2(4a-1)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2.$$

   Следовательно,

   $$((4a-1)+1)^2=(4a)^2=16a^2.$$

Ответ

1) $$a^3b^6c^3-1=(ab^2c-1)(a^2b^4c^2+ab^2c+1);$$
2) $$8a^3b^3+125c^3=(2ab+5c)(4a^2b^2-10abc+25c^2);$$
3) $$a^2;$$
4) $$16a^2.$$