Упр.778 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Упростить: 1) $$(a+3)^2+(a-3)^2$$; 2) $$(4a+b)^2-(4a-b)^2$$; 3) $$\left(2-\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a^2}{b^2}$$.
2. Если к числителю некоторой дроби прибавить $$3$$, а знаменатель оставить без изменения, то получится $$1$$; если к знаменателю исходной дроби прибавить $$2$$, не меняя её числитель, то получится дробь, равная $$\frac{1}{2}$$. Найти исходную дробь.

1. $$\begin{aligned} (a+3)^2+(a-3)^2&=(a^2+6a+9)+(a^2-6a+9)\\ &=2a^2+18. \end{aligned}$$

2. $$\begin{aligned} (4a+b)^2-(4a-b)^2&=(16a^2+8ab+b^2)-(16a^2-8ab+b^2)\\ &=16ab. \end{aligned}$$

3. $$\begin{aligned} \left(2-\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a^2}{b^2} &=\left(4-\frac{4a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)-\frac{a^2}{b^2}\\ &=4-\frac{4a}{b}\\ &=4\left(1-\frac{a}{b}\right). \end{aligned}$$

4. Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$. Тогда по условию:
   $$\begin{cases} \dfrac{x+3}{y}=1,\\[4pt] \dfrac{x}{y+2}=\dfrac12. \end{cases}$$
   Из первого уравнения получаем $$x+3=y$$, то есть $$y=x+3$$.
   Из второго уравнения:
   $$2x=y+2.$$
   Подставим $$y=x+3$$:
   $$2x=x+5,$$
   откуда $$x=5$$. Тогда
   $$y=5+3=8.$$
   Значит, исходная дробь равна $$\dfrac{5}{8}$$.

Ответ

$$2a^2+18,\quad 16ab,\quad 4\left(1-\frac{a}{b}\right),\quad \frac{5}{8}$$