Упр.778 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (a+3)^2+(a-3)^2;
2) (4a+b)^2-(4a-b)^2;
3) (2-a/b)^2-a^2/b^2 .
Если к числителю некоторой дроби прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя её числитель, то получится дробь, равная 1/2. Найти исходную дробь.

Подробный ответ

$$\begin{aligned} (a+3)^2+(a-3)^2&=(a^2+6a+9)+(a^2-6a+9)\\ &=2a^2+18. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (4a+b)^2-(4a-b)^2&=(16a^2+8ab+b^2)-(16a^2-8ab+b^2)\\ &=16ab. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \left(2-\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a^2}{b^2} &=\left(4-\frac{4a}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)-\frac{a^2}{b^2}\\ &=4-\frac{4a}{b}\\ &=4\left(1-\frac{a}{b}\right). \end{aligned}$$
Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$. Тогда по условию:
$$\begin{cases} \dfrac{x+3}{y}=1,\\[4pt] \dfrac{x}{y+2}=\dfrac12. \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем $$x+3=y$$, то есть $$y=x+3$$.
Из второго уравнения:
$$2x=y+2.$$
Подставим $$y=x+3$$:
$$2x=x+5,$$
откуда $$x=5$$. Тогда
$$y=5+3=8.$$
Значит, исходная дробь равна $$\dfrac{5}{8}$$.