Упр.762 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 2(x-1)=3(2x-1);
2) 3(1-x)=4x-11;
3) 3-5(x-1)=x-2;
4) 3(x-2)-2(x-1)=17.
Выполнить действия:
1) a/(a^2-1)-1/(1-a^2 );
2) 3y/(4x^2-9y^2 )+2x/(9y^2-4x^2 );
3) 1+3a+(9a^2)/(1+3a)+1/(3a-1)+6a/(1-9a^2 );
4) m^2/(m^3-n^3 )-mn/(n^3-m^3 )+n^2/(m^3-n^3 ).

Подробный ответ

$$2(x-1)=3(2x-1)$$
$$2x-2=6x-3$$
$$2x-6x=-3+2$$
$$-4x=-1$$
$$x=\frac14$$
$$3(1-x)=4x-11$$
$$3-3x=4x-11$$
$$3+11=4x+3x$$
$$7x=14$$
$$x=2$$
$$3-5(x-1)=x-2$$
$$3-5x+5=x-2$$
$$8-5x=x-2$$
$$-5x-x=-2-8$$
$$-6x=-10$$
$$x=\frac{10}{6}=\frac53$$
$$3(x-2)-2(x-1)=17$$
$$3x-6-2x+2=17$$
$$x-4=17$$
$$x=21$$
$$\frac{a}{a^2-1}-\frac{1}{1-a^2}$$
Так как $$1-a^2=-(a^2-1)$$, то
$$\frac{a}{a^2-1}-\frac{1}{1-a^2}=\frac{a}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a+1}{a^2-1}$$
$$\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1}$$
$$\frac{3y}{4x^2-9y^2}+\frac{2x}{9y^2-4x^2}$$
Так как $$9y^2-4x^2=-(4x^2-9y^2)$$, то
$$\frac{3y}{4x^2-9y^2}+\frac{2x}{9y^2-4x^2}=\frac{3y}{4x^2-9y^2}-\frac{2x}{4x^2-9y^2}$$
$$=\frac{3y-2x}{4x^2-9y^2}$$
$$4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y)=-(3y-2x)(3y+2x)$$
$$\frac{3y-2x}{4x^2-9y^2}=-\frac{1}{3y+2x}$$
$$1+3a+\frac{9a^2}{1+3a}+\frac{1}{3a-1}+\frac{6a}{1-9a^2}$$
Заметим, что $$1-9a^2=(1-3a)(1+3a)$$ и $$\frac{1}{3a-1}=-\frac{1}{1-3a}$$.
Приведём к общему знаменателю $$1-9a^2$$:
$$1+3a+\frac{9a^2}{1+3a}+\frac{1}{3a-1}+\frac{6a}{1-9a^2}$$
$$=\frac{(1+3a)(1-9a^2)+9a^2(1-3a)-(1+3a)+6a}{1-9a^2}$$
$$=\frac{6a-54a^3}{1-9a^2}=\frac{6a(1-9a^2)}{1-9a^2}=6a$$
$$\frac{m^2}{m^3-n^3}-\frac{mn}{n^3-m^3}+\frac{n^2}{m^3-n^3}$$
Так как $$n^3-m^3=-(m^3-n^3)$$, то
$$\frac{m^2}{m^3-n^3}-\frac{mn}{n^3-m^3}+\frac{n^2}{m^3-n^3}=\frac{m^2}{m^3-n^3}+\frac{mn}{m^3-n^3}+\frac{n^2}{m^3-n^3}$$
$$=\frac{m^2+mn+n^2}{m^3-n^3}$$
Так как $$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$$, получаем
$$\frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)(m^2+mn+n^2)}=\frac{1}{m-n}$$