Упр.754 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
- Во всех строках некоторой страницы книги одинаковое число букв. Если на этой странице уменьшить число строк на 4, а число букв в строке на 5, то число букв на всей странице уменьшится на 360. Если же на странице увеличить число строк на 3, а число букв в строке на 2, то на странице поместится на 228 букв больше, чем было. Определить число строк и число букв в строке на этой странице книги.
- Выполнить умножение многочленов:
- $$\left(a^2+3ab+b^2\right)\left(7a-5b\right);$$
- $$\left(3a^2-6ab^2+2b^2\right)\left(4ab-1\right);$$
- $$\left(a+3b-4c\right)\left(a-3b-4c\right);$$
- $$\left(m+n-2\right)\left(m-n+2\right);$$
- $$\left(\frac{1}{3}a^2b-\frac{2}{5}ab^2\right)\left(15a-30b\right);$$
- $$\left(\frac{1}{2}a^2+4a+1\right)\left(3a-1\right).$$
Обозначим: $$x$$ — число букв в строке, $$y$$ — число строк на странице. Тогда на всей странице было $$xy$$ букв.
По условию, если число строк уменьшить на 4, а число букв в строке уменьшить на 5, получим:
$$(y-4)(x-5)=xy-360.$$
Если число строк увеличить на 3, а число букв в строке увеличить на 2, то:
$$(y+3)(x+2)=xy+228.$$
Раскроем скобки:
$$\begin{cases} xy-5y-4x+20=xy-360,\\ xy+2y+3x+6=xy+228. \end{cases}$$
Сократим $$xy$$:
$$\begin{cases} 5y+4x=380,\\ 3x+2y=222. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$6x+4y=444.$$
Умножим первое уравнение на $$1$$ и вычтем его из полученного:
$$(6x+4y)-(4x+5y)=444-380,$$
$$2x-y=64.$$
Из второго уравнения системы выразим $$y$$:
$$2y=222-3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5\cdot \frac{222-3x}{2}+4x=380,$$
$$1110-15x+8x=760,$$
$$-7x=-350,$$
$$x=50.$$
Тогда
$$3\cdot 50+2y=222,$$
$$150+2y=222,$$
$$2y=72,$$
$$y=36.$$
Значит, на странице было 36 строк и 50 букв в строке.
Теперь выполним умножение многочленов.
$$(a^2+3ab+b^2)(7a-5b)= 7a^3-5a^2b+21a^2b-15ab^2+7ab^2-5b^3.$$
$$=7a^3+16a^2b-8ab^2-5b^3.$$
$$(3a^2-6ab^2+2b^2)(4ab-1)= 12a^3b-3a^2-24a^2b^3+6ab^2+8ab^3-2b^2.$$
$$(a+3b-4c)(a-3b-4c)= a^2-3ab-4ac+3ab-9b^2-12bc-4ac+12bc+16c^2.$$
$$=a^2-8ac-9b^2+16c^2.$$
$$(m+n-2)(m-n+2)=(m+(n-2))(m-(n-2)).$$
$$=m^2-(n-2)^2=m^2-n^2+4n-4.$$
$$\left(\frac13 a^2b-\frac25 ab^2\right)(15a-30b)= 5a^3b-10a^2b^2-6a^2b^2+12ab^3.$$
$$=5a^3b-16a^2b^2+12ab^3.$$
$$\left(\frac12 a^2+4a+1\right)(3a-1)= 1{,}5a^3-0{,}5a^2+12a^2-4a+3a-1.$$
$$=1{,}5a^3+11{,}5a^2-a-1.$$
Ответ
36 строк и 50 букв в строке; 1) $$7a^3+16a^2b-8ab^2-5b^3$$; 2) $$12a^3b-3a^2-24a^2b^3+6ab^2+8ab^3-2b^2$$; 3) $$a^2-8ac-9b^2+16c^2$$; 4) $$m^2-n^2+4n-4$$; 5) $$5a^3b-16a^2b^2+12ab^3$$; 6) $$1{,}5a^3+11{,}5a^2-a-1$$.
