Упр.748 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

2) Проволока длиной 1 м 12 см разрезана на куски по 18 см и 24 см. Сколько кусков каждого вида получилось? Вертолет пролетел растояние между двумя поселками при попутном ветре за 1,5 ч, а при встречном ветре за 2 ч. Каково расстояние между поселками, если скорость ветра в оба раза была равна 10 км/ч?

Подробный ответ

Пусть ящиков по 10 кг было $$x$$, а ящиков по 20 кг — $$y$$. Тогда
$$10x+20y=110.$$
Разделим уравнение на $$10$$:
$$x+2y=11,$$
откуда
$$x=11-2y.$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, подбираем значения $$y$$:
при $$y=1$$, $$x=9$$;
при $$y=2$$, $$x=7$$;
при $$y=3$$, $$x=5$$;
при $$y=4$$, $$x=3$$;
при $$y=5$$, $$x=1$$.
Получаем все возможные пары:
$$9 \text{ и } 1;\ 7 \text{ и } 2;\ 5 \text{ и } 3;\ 3 \text{ и } 4;\ 1 \text{ и } 5.$$
Пусть кусков по 18 см было $$x$$, а кусков по 24 см — $$y$$. Тогда
$$18x+24y=112.$$
Разделим на $$2$$:
$$9x+12y=56.$$
Выразим $$x$$:
$$9x=56-12y,\qquad x=\frac{56-12y}{9}.$$
Чтобы $$x$$ было натуральным числом, число $$56-12y$$ должно делиться на $$9$$. Проверка показывает, что таких натуральных $$y$$ нет.
Значит, разрезать проволоку длиной $$112$$ см на куски по $$18$$ см и $$24$$ см невозможно.
Пусть собственная скорость вертолёта равна $$x$$ км/ч. Тогда при попутном ветре его скорость равна $$x+10$$ км/ч, а при встречном — $$x-10$$ км/ч.
Расстояние между поселками одинаково, поэтому составим уравнение:
$$1{,}5(x+10)=2(x-10).$$
Решим его:
$$1{,}5x+15=2x-20$$
$$35=0{,}5x$$
$$x=70.$$
Тогда расстояние между поселками:
$$2(x-10)=2\cdot 60=120\text{ км}.$$