Упр.747 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Подобрать такие значения $$a$$ и $$c$$, чтобы система уравнений
   $$\begin{cases} x+y=5,\\ ax+3y=c \end{cases}$$
   имела: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений; 3) не имела решений.
2. Катер прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч?

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x+y=5,\\ ax+3y=c. \end{cases}$$

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при неизвестных не должны быть пропорциональны:

$$\frac{a}{1}\ne \frac{3}{1}, \quad \text{то есть } a\ne 3.$$

Возьмём, например, $$a=1$$. Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} x+y=5,\\ x+3y=c. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2y=c-5.$$

Чтобы получить удобное решение из текста, подставим $$y=1$$, тогда $$x=4$$, и

$$c=x+3y=4+3\cdot 1=7.$$

Значит, при $$a=1$$, $$c=7$$ система имеет единственное решение.

2) Бесконечно много решений система имеет тогда, когда оба уравнения задают одну и ту же прямую, то есть

$$\frac{a}{1}=\frac{3}{1}=\frac{c}{5}.$$

Отсюда

$$a=3,\qquad c=15.$$

3) Решений нет, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$a=3,\qquad c\ne 15.$$

Например, при $$c=6$$ получаем систему

$$\begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=6, \end{cases}$$

которая не имеет решений, так как из первого уравнения следует $$3x+3y=15$$, что противоречит второму.

4) Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда по течению его скорость равна $$x+2$$, а против течения — $$x-2$$.

По условию расстояние между пристанями одинаково:

$$3(x+2)=4(x-2).$$

Решим уравнение:

$$3x+6=4x-8$$

$$x=14.$$

Тогда расстояние между пристанями:

$$3(x+2)=3\cdot 16=48.$$

Ответ

1) $$a\ne 3$$; например, $$a=1$$, $$c=7$$.
2) $$a=3$$, $$c=15$$.
3) $$a=3$$, $$c\ne 15$$; например, $$a=3$$, $$c=6$$.
4) $$48$$ км.