Упр.747 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

ax+3y=c)+ Катер прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч?

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ ax+3y=c. \end{cases} $$

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при неизвестных не должны быть пропорциональны:

$$ \frac{a}{1}\ne \frac{3}{1}, \quad \text{то есть } a\ne 3. $$

Возьмём, например, $a=1$. Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x+3y=c. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 2y=c-5. $$

Чтобы получить удобное решение из текста, подставим $y=1$, тогда $x=4$, и

$$ c=x+3y=4+3\cdot 1=7. $$

Значит, при $a=1$, $c=7$ система имеет единственное решение.

2) Бесконечно много решений система имеет тогда, когда оба уравнения задают одну и ту же прямую, то есть

$$ \frac{a}{1}=\frac{3}{1}=\frac{c}{5}. $$

Отсюда

$$ a=3,\qquad c=15. $$

3) Решений нет, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$ a=3,\qquad c\ne 15. $$

Например, при $c=6$ получаем систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=6, \end{cases} $$

которая не имеет решений, так как из первого уравнения следует $3x+3y=15$, что противоречит второму.

4) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда по течению его скорость равна $x+2$, а против течения — $x-2$.

По условию расстояние между пристанями одинаково:

$$ 3(x+2)=4(x-2). $$

Решим уравнение:

$$ 3x+6=4x-8 $$

$$ x=14. $$

Тогда расстояние между пристанями:

$$ 3(x+2)=3\cdot 16=48. $$

Ответ

1) $a\ne 3$; например, $a=1$, $c=7$.
2) $a=3$, $c=15$.
3) $a=3$, $c\ne 15$; например, $a=3$, $c=6$.
4) $48$ км.