Упр.734 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Лодка прошла 12 км по течению реки и обратно за 2,5 ч. В другой раз та же лодка за 1 ч 20 мин прошла по течению реки 4 км, а против течения 8 км. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье призовые места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек.
Обозначим: $$x$$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.
Тогда скорость лодки по течению равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.
По условию:
$$ \frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=2{,}5=\frac{5}{2} $$
$$ \frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=1\text{ ч }20\text{ мин}=\frac{4}{3} $$
Составим систему:
$$ \begin{cases} \frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2},\\ \frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2(x^2-y^2)$$, а второе — на $$3(x^2-y^2)$$:
$$ \begin{cases} 24(x-y)+24(x+y)=5(x^2-y^2),\\ 12(x-y)+24(x+y)=4(x^2-y^2). \end{cases} $$
Упростим:
$$ \begin{cases} 48x=5(x^2-y^2),\\ 36x+12y=4(x^2-y^2). \end{cases} $$
Из второго уравнения, разделив на $$4$$, получаем:
$$ 9x+3y=x^2-y^2. $$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$$ 48x=5(9x+3y) $$
$$ 48x=45x+15y $$
$$ 3x=15y $$
$$ x=5y. $$
Подставим $$x=5y$$ во второе исходное уравнение:
$$ \frac{4}{5y+y}+\frac{8}{5y-y}=\frac{4}{3} $$
$$ \frac{4}{6y}+\frac{8}{4y}=\frac{4}{3} $$
$$ \frac{2}{3y}+\frac{2}{y}=\frac{4}{3} $$
Умножим на $$3y$$:
$$ 2+6=4y $$
$$ 8=4y $$
$$ y=2. $$
Тогда
$$ x=5y=10. $$
Значит, скорость лодки в стоячей воде равна $$10$$ км/ч, а скорость течения реки — $$2$$ км/ч.
Теперь найдём число способов распределить первое, второе и третье места.
1) Если участвуют $$5$$ человек, то:
$$ 5\cdot 4\cdot 3=60. $$
2) Если участвуют $$6$$ человек, то:
$$ 6\cdot 5\cdot 4=120. $$
Ответ
$$10\text{ км/ч},\ 2\text{ км/ч};\ 60\text{ способов};\ 120\text{ способов}.$$
