Упр.710 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

1) {((x+3)/2-(y-2)/3=2
(x-1)/4+(y+1)/3=4)+
2) {((x+y)/2+(x-y)/3=6
(x+y)/4-(x-y)/3=6)+
3) {((x+y)/2-2y/3=5/2
3x/2+2y=0)+
Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными?

Подробный ответ

Решим систему способом алгебраического сложения:
$$\begin{cases} \dfrac{x+3}{2}-\dfrac{y-2}{3}=2,\\ \dfrac{x-1}{4}+\dfrac{y+1}{3}=4. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$12$$:
$$\begin{cases} 3(x+3)-2(y-2)=12,\\ 3(x-1)+4(y+1)=48. \end{cases}$$
Раскроем скобки:
$$\begin{cases} 3x-2y=-1,\\ 3x+4y=47. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$6y=48,$$
$$y=8.$$
Подставим $$y=8$$ в первое уравнение:
$$3x-2\cdot 8=-1,$$
$$3x=15,$$
$$x=5.$$
$$\begin{cases} x=5,\\ y=8. \end{cases}$$
Решим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{3}=6,\\ \dfrac{x+y}{4}-\dfrac{x-y}{3}=6. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$12$$:
$$\begin{cases} 3(x+y)+2(x-y)=36,\\ 3(x+y)-4(x-y)=72. \end{cases}$$
Получаем:
$$\begin{cases} 5x+y=36,\\ -x+7y=72. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$:
$$\begin{cases} 25x+5y=180,\\ -x+7y=72. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$25$$ и сложим с первым способом удобнее сразу выразить $$x$$:
$$x=7y-72.$$
Подставим в $$5x+y=36$$:
$$5(7y-72)+y=36,$$
$$35y-360+y=36,$$
$$36y=396,$$
$$y=11.$$
$$x=7\cdot 11-72=5.$$
$$\begin{cases} x=5,\\ y=11. \end{cases}$$
Решим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2y}{3}=\dfrac{5}{2},\\ \dfrac{3x}{2}+2y=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$2$$:
$$\begin{cases} 3(x+y)-4y=15,\\ 3x+4y=0. \end{cases}$$
Получаем:
$$\begin{cases} 3x-y=15,\\ 3x+4y=0. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$5y=-15,$$
$$y=-3.$$
Подставим в $$3x+4y=0$$:
$$3x+4(-3)=0,$$
$$3x=12,$$
$$x=4.$$
$$\begin{cases} x=4,\\ y=-3. \end{cases}$$
Сколько существует двузначных чисел из цифр $$1,2,3,4,5,6$$:
- если цифры могут повторяться, то на первое место можно поставить любую из $$6$$ цифр, и на второе место — тоже любую из $$6$$ цифр: $$6\cdot 6=36$$;
- если цифры должны быть различными, то на первое место можно поставить любую из $$6$$ цифр, а на второе — любую из оставшихся $$5$$ цифр: $$6\cdot 5=30$$.