Упр.676 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) на рисунке 35,а; 2) на рисунке 35,б;
3) на рисунке 35,в; 4) на рисунке 35,г. Подобрать такие значения a и c, чтобы система уравнений {(x+y=5 имела: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений; 3) не имела решений.
ax+3y=c)+

1) На рисунках изображены прямые, проходящие через начало координат, значит их уравнение имеет вид $$y=kx.$$

Для каждой прямой найдём коэффициент $$k$$ по отмеченной точке:

1) точка $$\left(1;2\right)$$:
$$2=k\cdot 1,\quad k=2,$$
значит $$y=2x.$$

2) точка $$\left(2;1\right)$$:
$$1=2k,\quad k=\frac12,$$
значит $$y=\frac12x.$$

3) точка $$\left(-3;2\right)$$:
$$2=-3k,\quad k=-\frac23,$$
значит $$y=-\frac23x.$$

4) точка $$\left(-4;\frac12\right)$$:
$$\frac12=-4k,\quad k=\frac12:(-4)=-\frac18,$$
значит $$y=-\frac18x.$$

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ ax+3y=c. \end{cases} $$

1. Единственное решение. Оно есть, если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не пропорциональны, то есть $$a\ne 3$$. Например, при $$a=1$$ получаем:

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x+3y=7. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2y=2,\quad y=1,\quad x=4. $$
Значит, система имеет единственное решение.

2. Бесконечно много решений. Для этого уравнения должны совпадать, то есть

$$ a=3,\quad c=15. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=15, \end{cases} $$
и второе уравнение является следствием первого.

3. Нет решений. Прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Значит,

$$ a=3,\quad c\ne 15. $$
Например, при $$c=6$$ получаем систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ 3x+3y=6, \end{cases} $$
которая решений не имеет.

Ответ

1) $$y=2x$$; $$y=\frac12x$$; $$y=-\frac23x$$; $$y=-\frac18x$$.

2) Единственное решение: $$a\ne 3$$, например $$a=1,\ c=7$$. Бесконечно много решений: $$a=3,\ c=15$$. Нет решений: $$a=3,\ c\ne 15$$, например $$a=3,\ c=6$$.