Упр.669 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Найти значения k и b, если известно, что график функции y=kx+b проходит через точки (2;10) и (-7;-10). В три сосуда налита вода. Если половину воды из первого сосуда перелить во второй, затем 1/3 часть воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и, наконец, 1/4 часть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелить в первый,то в каждом сосуде станет по 6 л. Сколько воды было в каждом сосуде до переливания?

1) Найдём коэффициенты функции $$y=kx+b$$, если график проходит через точки $$ (2;10) $$ и $$ (-7;-10) $$.

Подставим координаты точек в уравнение:

$$ \begin{cases} 10=2k+b,\\ -10=-7k+b. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$ -10-10=-7k-2k $$

$$ -20=-9k $$

$$ k=\frac{20}{9}. $$

Теперь найдём $$b$$:

$$ 10=2\cdot \frac{20}{9}+b $$

$$ b=10-\frac{40}{9}=\frac{50}{9}. $$

2) Пусть в первом сосуде было $$x$$ л воды, во втором — $$y$$ л, в третьем — $$z$$ л.

После переливаний в сосудах стало по 6 л, значит составим систему.

После первого переливания:

в первом сосуде осталось $$x-\frac12x=\frac12x$$, во втором стало $$y+\frac12x$$.

После второго переливания:

во втором сосуде осталось

$$ y+\frac12x-\frac13\left(y+\frac12x\right)=\frac23y+\frac13x, $$

в третьем стало

$$ z+\frac13\left(y+\frac12x\right). $$

После третьего переливания:

в третьем сосуде осталось

$$ z+\frac13\left(y+\frac12x\right)-\frac14\left(z+\frac13\left(y+\frac12x\right)\right) =\frac34z+\frac14y+\frac18x, $$

в первом стало

$$ \frac12x+\frac14\left(z+\frac13\left(y+\frac12x\right)\right) =\frac{13}{24}x+\frac14z+\frac1{12}y. $$

Так как в каждом сосуде стало по 6 л, получаем систему:

$$ \begin{cases} \frac{13}{24}x+\frac14z+\frac1{12}y=6,\\ \frac23y+\frac13x=6,\\ \frac34z+\frac14y+\frac18x=6. \end{cases} $$

Умножим уравнения на 24, 3 и 8 соответственно:

$$ \begin{cases} 13x+6z+2y=144,\\ 2y+x=18,\\ 6z+2y+x=48. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$ 12x=96, $$

откуда

$$ x=8. $$

Подставим в второе уравнение:

$$ 2y+8=18, $$

$$ 2y=10,\quad y=5. $$

Подставим $$x=8$$ и $$y=5$$ в третье уравнение:

$$ 6z+2\cdot 5+8=48, $$

$$ 6z=30,\quad z=5. $$

Ответ

$$k=\frac{20}{9},\quad b=\frac{50}{9};$$ в сосудах было $$8$$ л, $$5$$ л и $$5$$ л.