Упр.663 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем продолжил движение в том же направлении пешком со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии y от города турист был через x часов ходьбы? Лодка прошла 12 км по течению реки и обратно за 2,5 ч. В другой раз та же лодка за 1 ч 20 мин прошла по течению реки 4 км, а против течения 8 км. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

1) Если турист прошёл на автобусе 10 км, а затем шёл пешком со скоростью 5 км/ч в течение $$x$$ часов, то расстояние от города через $$x$$ часов ходьбы равно

$$y(x)=10+5x \text{ (км)}.$$

2) Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч, а скорость течения реки — $$y$$ км/ч. Тогда:

• по течению скорость лодки $$x+y$$ км/ч;
• против течения скорость лодки $$x-y$$ км/ч.

По условию в первый раз лодка прошла 12 км по течению и 12 км против течения за $$2{,}5$$ ч, значит

$$\frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2}.$$

Во второй раз лодка прошла 4 км по течению и 8 км против течения за $$1\text{ ч }20\text{ мин}=\frac{4}{3}$$ ч, значит

$$\frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} \frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2},\\ \frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2(x+y)(x-y)$$, а второе — на $$3(x+y)(x-y)$$:

$$ \begin{cases} 24(x-y)+24(x+y)=5(x^2-y^2),\\ 12(x-y)+24(x+y)=4(x^2-y^2). \end{cases} $$

Упростим:

$$ \begin{cases} 48x=5(x^2-y^2),\\ 36x+12y=4(x^2-y^2). \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$9x+3y=x^2-y^2.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ 48x=5(9x+3y) $$

$$ 48x=45x+15y $$

$$ 3x=15y $$

$$ x=5y. $$

Подставим $$x=5y$$ в уравнение $$9x+3y=x^2-y^2$$:

$$ 9\cdot 5y+3y=(5y)^2-y^2 $$

$$ 45y+3y=24y^2 $$

$$ 48y=24y^2 $$

$$ y=2. $$

Тогда

$$ x=5y=10. $$

Ответ

$$y(x)=10+5x \text{ км};$$ скорость лодки в стоячей воде — $$10$$ км/ч, скорость течения реки — $$2$$ км/ч.