Упр.621 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (-1;1); 2) (1;0); 3) (3;27); 4) (-2;7). Найти все пары (x;y) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:
1) 15y-8x=76;
2) 9y-2x=20;
3) 5y-3x=26;
4) 4y-3x=20.

Подробный ответ

1) Проверим, принадлежат ли точки графику функции $$y=x^3-1$$.

$$ \begin{aligned} (-1;1):\quad &1=(-1)^3-1=-1-1=-2,\quad 1\ne -2;\\ (1;0):\quad &0=1^3-1=1-1=0,\quad 0=0;\\ (3;27):\quad &27=3^3-1=27-1=26,\quad 27\ne 26;\\ (-2;7):\quad &7=(-2)^3-1=-8-1=-9,\quad 7\ne -9. \end{aligned} $$

Значит, графику функции принадлежит только точка $$ (1;0) $$.

2) Найдём все пары натуральных чисел $$ (x;y) $$, удовлетворяющие уравнениям.

$$ 15y-8x=76 $$
Выразим $$y$$:
$$ 15y=76+8x,\qquad y=\frac{76+8x}{15}. $$
Чтобы $$y$$ было натуральным числом, числитель должен делиться на $$15$$. Подходит $$x=2$$:
$$ y=\frac{76+8\cdot 2}{15}=\frac{92}{15} $$
не является натуральным числом, значит натуральных решений нет.
$$ 9y-2x=20 $$
Выразим $$y$$:
$$ 9y=20+2x,\qquad y=\frac{20+2x}{9}. $$
Проверим делимость на $$9$$. Пусть $$20+2x=9k$$. Тогда $$2x=9k-20$$. При натуральных $$x,y$$ получаем, что $$x=2$$ даёт
$$ y=\frac{20+2\cdot 2}{9}=\frac{24}{9} $$
не подходит. Натуральных решений нет.
$$ 5y-3x=26 $$
Выразим $$y$$:
$$ 5y=26+3x,\qquad y=\frac{26+3x}{5}. $$
Чтобы $$y$$ было натуральным, число $$26+3x$$ должно делиться на $$5$$. Проверим по модулю $$5$$:
$$ 26+3x\equiv 1+3x \pmod 5. $$
При $$x=3$$ получаем:
$$ y=\frac{26+3\cdot 3}{5}=\frac{35}{5}=7. $$
Значит, $$ (3;7) $$ — решение.
$$ 4y-3x=20 $$
Выразим $$y$$:
$$ 4y=20+3x,\qquad y=\frac{20+3x}{4}. $$
Проверим делимость на $$4$$. При $$x=4$$:
$$ y=\frac{20+3\cdot 4}{4}=\frac{32}{4}=8. $$
Значит, $$ (4;8) $$ — решение.