Упр.621 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2023 года. Дана функция $$y=x^3-1$$. Выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: 1) $$(-1;1)$$; 2) $$(1;0)$$; 3) $$(3;27)$$; 4) $$(-2;7)$$.
2. Задание учебника 2012 года. Найти все пары $$(x;y)$$ натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 1) $$15y-8x=76$$; 2) $$9y-2x=20$$; 3) $$5y-3x=26$$; 4) $$4y-3x=20$$.

1) Проверим, принадлежат ли точки графику функции $$y=x^3-1$$.

$$\begin{aligned} (-1;1):\quad &1=(-1)^3-1=-1-1=-2,\quad 1\ne -2;\\ (1;0):\quad &0=1^3-1=1-1=0,\quad 0=0;\\ (3;27):\quad &27=3^3-1=27-1=26,\quad 27\ne 26;\\ (-2;7):\quad &7=(-2)^3-1=-8-1=-9,\quad 7\ne -9. \end{aligned}$$

Значит, графику функции принадлежит только точка $$(1;0)$$.

2) Найдём все пары натуральных чисел $$(x;y)$$, удовлетворяющие уравнениям.

1. $$15y-8x=76$$

   Выразим $$y$$:
   $$15y=76+8x,\qquad y=\frac{76+8x}{15}.$$

   Чтобы $$y$$ было натуральным числом, числитель должен делиться на $$15$$. Подходит $$x=2$$:

   $$y=\frac{76+8\cdot 2}{15}=\frac{92}{15}$$

   не является натуральным числом, значит натуральных решений нет.

2. $$9y-2x=20$$

   Выразим $$y$$:
   $$9y=20+2x,\qquad y=\frac{20+2x}{9}.$$

   Проверим делимость на $$9$$. Пусть $$20+2x=9k$$. Тогда $$2x=9k-20$$. При натуральных $$x,y$$ получаем, что $$x=2$$ даёт

   $$y=\frac{20+2\cdot 2}{9}=\frac{24}{9}$$

   не подходит. Натуральных решений нет.

3. $$5y-3x=26$$

   Выразим $$y$$:
   $$5y=26+3x,\qquad y=\frac{26+3x}{5}.$$

   Чтобы $$y$$ было натуральным, число $$26+3x$$ должно делиться на $$5$$. Проверим по модулю $$5$$:

   $$26+3x\equiv 1+3x \pmod 5.$$

   При $$x=3$$ получаем:

   $$y=\frac{26+3\cdot 3}{5}=\frac{35}{5}=7.$$

   Значит, $$(3;7)$$ — решение.

4. $$4y-3x=20$$

   Выразим $$y$$:
   $$4y=20+3x,\qquad y=\frac{20+3x}{4}.$$

   Проверим делимость на $$4$$. При $$x=4$$:

   $$y=\frac{20+3\cdot 4}{4}=\frac{32}{4}=8.$$

   Значит, $$(4;8)$$ — решение.

Ответ

1) $$(1;0)$$; 2) натуральных решений нет; 3) $$(3;7)$$; 4) $$(4;8)$$.