Упр.581 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Доказать, что при любых значениях $$x$$ и $$y$$ верно равенство:
1) $$(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$$;
2) $$(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)=x^4-16y^4$$.
Построить график функции:
1) $$y=2x+1$$;
2) $$y=-2x+1$$;
3) $$y=3x-4$$;
4) $$y=0{,}5x-1$$;
5) $$y=\frac{1}{4}x-2$$;
6) $$y=\frac{1}{2}x+2$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$(x+y)(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)(x+y)=(x-y)(x+y)^2.$$

Получили правую часть, значит равенство верно при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

2) Используем формулу разности квадратов:

$$(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2).$$

Теперь применим формулу $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$:

$$(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)=x^4-16y^4.$$

Следовательно, равенство верно при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

3) Для построения графиков достаточно взять по две точки для каждой прямой.

$$y=2x+1$$: при $$x=0$$ получаем $$y=1$$, при $$x=1$$ получаем $$y=3$$.
$$y=-2x+1$$: при $$x=0$$ получаем $$y=1$$, при $$x=1$$ получаем $$y=-1$$.
$$y=3x-4$$: при $$x=0$$ получаем $$y=-4$$, при $$x=1$$ получаем $$y=-1$$.
$$y=0{,}5x-1$$: при $$x=0$$ получаем $$y=-1$$, при $$x=2$$ получаем $$y=0$$.
$$y=\frac14x-2$$: при $$x=0$$ получаем $$y=-2$$, при $$x=4$$ получаем $$y=-1$$.
$$y=\frac12x+2$$: при $$x=0$$ получаем $$y=2$$, при $$x=2$$ получаем $$y=3$$.

Через каждую пару точек проводим прямую — это и есть график соответствующей функции.

Ответ

1) $$(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$$; 2) $$(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)=x^4-16y^4$$.

Графики — прямые, проходящие через точки:

1) $$(0;1)$$ и $$(1;3)$$; 2) $$(0;1)$$ и $$(1;-1)$$; 3) $$(0;-4)$$ и $$(1;-1)$$; 4) $$(0;-1)$$ и $$(2;0)$$; 5) $$(0;-2)$$ и $$(4;-1)$$; 6) $$(0;2)$$ и $$(2;3)$$.