Упр.561 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители: 1) $$(x^2+1)^2-4x^2$$; 2) $$(x^2+2x)^2-1$$; 3) $$4y^2-(y-c)^2$$; 4) $$81-(y^2+6y)^2$$.
2. Построить график функции, заданной формулой $$y=-1{,}5x$$. Найти по графику: 1) значение $$y$$, соответствующее значению $$x$$, равному $$1; 0; 2; 3$$; 2) значение $$x$$, если значение $$y$$ равно $$-3; 4{,}5; 6$$; 3) несколько целых значений $$x$$, при которых значения $$y$$ положительны (отрицательны).

1. $$\begin{aligned} (x^2+1)^2-4x^2&=(x^2+1)^2-(2x)^2\\ &=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)\\ &=(x-1)^2(x+1)^2. \end{aligned}$$
2. $$\begin{aligned} (x^2+2x)^2-1&=(x^2+2x)^2-1^2\\ &=(x^2+2x-1)(x^2+2x+1)\\ &=(x^2+2x-1)(x+1)^2. \end{aligned}$$
3. $$\begin{aligned} 4y^2-(y-c)^2&=(2y)^2-(y-c)^2\\ &=(2y-(y-c))(2y+(y-c))\\ &=(y+c)(3y-c). \end{aligned}$$
4. $$\begin{aligned} 81-(y^2+6y)^2&=9^2-(y^2+6y)^2\\ &=(9-(y^2+6y))(9+(y^2+6y))\\ &=(9-y^2-6y)(y^2+6y+9)\\ &=(9-y^2-6y)(y+3)^2. \end{aligned}$$

Для функции $$y=-1{,}5x$$ получаем:

$$y(1)=-1{,}5,\quad y(0)=0,\quad y(2)=-3,\quad y(3)=-4{,}5.$$

Если $$y=-3,$$ то $$-1{,}5x=-3,$$ откуда $$x=2.$$
Если $$y=4{,}5,$$ то $$-1{,}5x=4{,}5,$$ откуда $$x=-3.$$
Если $$y=6,$$ то $$-1{,}5x=6,$$ откуда $$x=-4.$$

Так как $$y=-1{,}5x,$$ то при $$x<0$$ значения $$y>0,$$ а при $$x>0$$ значения $$y<0.$$
Например, целые значения $$x,$$ при которых $$y>0$$: $$-6,\,-3,\,-1.$$
Целые значения $$x,$$ при которых $$y<0$$: $$1,\,3,\,6.$$

Ответ

1) $$(x-1)^2(x+1)^2; \quad (x^2+2x-1)(x+1)^2; \quad (y+c)(3y-c); \quad (9-y^2-6y)(y+3)^2.$$

2) $$y(1)=-1{,}5,\; y(0)=0,\; y(2)=-3,\; y(3)=-4{,}5;$$
$$x=2,\; x=-3,\; x=-4;$$
при $$x<0$$ — $$y>0,$$ при $$x>0$$ — $$y<0.$$