Упр.535 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что число (7n+1)^2-(2n-4)^2 делится на 15 при любом натуральном n. Квадрат со стороной 4 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Найти координаты вершин квадрата.

Подробный ответ

Разность квадратов представим в виде произведения:

$$ (7n+1)^2-(2n-4)^2=((7n+1)-(2n-4))((7n+1)+(2n-4)). $$

Упростим скобки:

$$ (7n+1-(2n-4))(7n+1+2n-4)=(5n+5)(9n-3). $$

Вынесем общие множители:

$$ (5n+5)(9n-3)=5(n+1)\cdot 3(3n-1)=15(n+1)(3n-1). $$

Следовательно, выражение делится на $$15$$ при любом натуральном $$n$$.

Квадрат со стороной $$4$$ и центром в начале координат, стороны которого параллельны осям координат, имеет вершины на расстоянии $$2$$ от начала координат по осям $$x$$ и $$y$$. Значит, координаты вершин:

$$A(-2;2),\quad B(2;2),\quad C(2;-2),\quad D(-2;-2).$$