Упр.535 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Доказать, что число $$(7n+1)^2-(2n-4)^2$$ делится на 15 при любом натуральном $$n$$.
2. Квадрат со стороной 4 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Найти координаты вершин квадрата.

Разность квадратов представим в виде произведения:

$$(7n+1)^2-(2n-4)^2=((7n+1)-(2n-4))((7n+1)+(2n-4)).$$

Упростим скобки:

$$(7n+1-(2n-4))(7n+1+2n-4)=(5n+5)(9n-3).$$

Вынесем общие множители:

$$(5n+5)(9n-3)=5(n+1)\cdot 3(3n-1)=15(n+1)(3n-1).$$

Следовательно, выражение делится на $$15$$ при любом натуральном $$n$$.

Квадрат со стороной $$4$$ и центром в начале координат, стороны которого параллельны осям координат, имеет вершины на расстоянии $$2$$ от начала координат по осям $$x$$ и $$y$$. Значит, координаты вершин:

$$A(-2;2),\quad B(2;2),\quad C(2;-2),\quad D(-2;-2).$$

Ответ

$$(7n+1)^2-(2n-4)^2=15(n+1)(3n-1),$$ поэтому выражение делится на $$15$$ при любом натуральном $$n$$.

Вершины квадрата: $$A(-2;2),\ B(2;2),\ C(2;-2),\ D(-2;-2).$$