Упр.522 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2023 года. Разложить на множители: 1) $$a^4-b^4$$; 2) $$a^4-b^8$$; 3) $$a^4-16$$; 4) $$b^4-81$$.
2. Задание учебника 2012 года. Доказать, что если $$a^3+b^3+c^3+abc=0$$, $$a+b\ne0$$, $$b+c\ne0$$ и $$c+a\ne0$$, то $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$$.

1. $$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2).$$
2. $$a^4-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4).$$
3. $$a^4-16=(a^2-4)(a^2+4)=(a-2)(a+2)(a^2+4).$$
4. $$b^4-81=(b^2-9)(b^2+9)=(b-3)(b+3)(b^2+9).$$

Докажем, что
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{a(a+b)(a+c)+b(b+c)(a+b)+c(c+a)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$$
Раскроем скобки в числителе:
$$a(a+b)(a+c)+b(b+c)(a+b)+c(c+a)(b+c)$$
$$=a^3+a^2b+a^2c+abc+b^3+ab^2+b^2c+abc+c^3+ac^2+bc^2+abc.$$
Сгруппируем:
$$=a^3+b^3+c^3+abc+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc.$$
По условию
$$a^3+b^3+c^3+abc=0,$$
значит числитель равен
$$a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc.$$
А знаменатель:
$$(a+b)(b+c)(c+a)=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc.$$
Следовательно,
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1.$$

Ответ

1) $$a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2);$$
2) $$a^4-b^8=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4);$$
3) $$a^4-16=(a-2)(a+2)(a^2+4);$$
4) $$b^4-81=(b-3)(b+3)(b^2+9);$$
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1.$$