Упр.521 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители: 1) $$36x^2y^2-1$$; 2) $$81a^6-49b^4$$; 3) $$x^2y^4-16$$; 4) $$25a^2-9b^6$$.
2. Выполнить действия: 1) $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$; 2) $$\frac{a^2+4}{a^3+8}-\frac{1}{a+2}$$; 3) $$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\frac{1}{a+b}$$; 4) $$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27}-\frac{1}{m-3}$$.

1. $$36x^2y^2-1=(6xy)^2-1^2=(6xy-1)(6xy+1).$$

2. $$81a^6-49b^4=(9a^3)^2-(7b^2)^2=(9a^3-7b^2)(9a^3+7b^2).$$

3. $$x^2y^4-16=(xy^2)^2-4^2=(xy^2-4)(xy^2+4).$$

4. $$25a^2-9b^6=(5a)^2-(3b^3)^2=(5a-3b^3)(5a+3b^3).$$

1. $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$

   Так как $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1),$$ то

   $$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1}=\frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2}{a^3-1}.$$

2. $$\frac{a^2+4}{a^3+8}-\frac{1}{a+2}$$

   Так как $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),$$ то

   $$\frac{a^2+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{1}{a+2}=\frac{a^2+4-(a^2-2a+4)}{a^3+8}=\frac{2a}{a^3+8}.$$

3. $$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\frac{1}{a+b}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+ab-b^2}{a^3+b^3}=\frac{3ab}{a^3+b^3}.$$

4. $$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27}-\frac{1}{m-3}$$

   Так как $$m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9),$$ то

   $$\frac{m^2-3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}-\frac{1}{m-3}=\frac{m^2-3m+9-(m^2+3m+9)}{m^3-27}=\frac{-6m}{m^3-27}=\frac{6m}{27-m^3}.$$

Ответ

1) $$(6xy-1)(6xy+1)$$; 2) $$(9a^3-7b^2)(9a^3+7b^2)$$; 3) $$(xy^2-4)(xy^2+4)$$; 4) $$(5a-3b^3)(5a+3b^3)$$.

1) $$\frac{2}{a^3-1}$$; 2) $$\frac{2a}{a^3+8}$$; 3) $$\frac{3ab}{a^3+b^3}$$; 4) $$\frac{6m}{27-m^3}$$.