Упр.505 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение: Доказать, что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150, то это число делится нацело на 75. Доказать, что если -1

1) Пусть данное натуральное число равно $$a.$$

По условию при делении на $$225$$ оно даёт остаток $$150$$, значит

$$a=225x+150,$$

где $$x$$ — натуральное число.

Вынесем общий множитель:

$$a=75(3x+2).$$

Следовательно, число делится нацело на $$75$$.

2) Рассмотрим выражение

$$\left(\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac12-\frac{x}{4}-\frac{1}{4x}\right).$$

Преобразуем первую скобку:

$$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^2-(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{-4x}{(x-1)(x+1)}.$$

Преобразуем вторую скобку:

$$\frac12-\frac{x}{4}-\frac{1}{4x}=\frac{2x-x^2-1}{4x}=-\frac{(x-1)^2}{4x}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{-4x}{(x-1)(x+1)}\cdot\left(-\frac{(x-1)^2}{4x}\right)=\frac{x-1}{x+1}.$$

Теперь определим знак полученного выражения.

Если $$-1<x<0,$$ то $$x-1<0$$ и $$x+1>0,$$ значит

$$\frac{x-1}{x+1}<0.$$

Если $$0<x<1,$$ то снова $$x-1<0$$ и $$x+1>0,$$ поэтому

$$\frac{x-1}{x+1}<0.$$

Следовательно, данное выражение отрицательно.

Ответ

1) $$a=75(3x+2),$$ значит число делится на $$75$$.

2) $$\left(\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac12-\frac{x}{4}-\frac{1}{4x}\right)=\frac{x-1}{x+1}<0.$$