Упр.504 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   
   1) $$x^2-2x=0$$;
   
   2) $$3x+x^2=0$$;
   
   3) $$5x^2+3x=0$$;
   
   4) $$x^2(x-2)-2x(x-2)^2=0$$;
   
   5) $$3x(1-x)^2-x^2(1-x)=0$$.
2. Доказать, что если $$x+\frac{1}{x}=a$$, то $$x^3+\frac{1}{x^3}=a(a^2-3)$$.

1. $$x^2-2x=0$$
   $$x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2.$$
2. $$3x+x^2=0$$
   $$x(3+x)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-3.$$
3. $$5x^2+3x=0$$
   $$x(5x+3)=0$$
   $$x=0 \text{ или } 5x+3=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-\frac{3}{5}.$$
4. $$x^2(x-2)-2x(x-2)^2=0$$
   $$x(x-2)\bigl(x-2(x-2)\bigr)=0$$
   $$x(x-2)(4-x)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2 \text{ или } x=4.$$
5. $$3x(1-x)^2-x^2(1-x)=0$$
   $$(1-x)\bigl(3x(1-x)-x^2\bigr)=0$$
   $$(1-x)(3x-4x^2)=0$$
   $$(1-x)x(3-4x)=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=0 \text{ или } x=\frac{3}{4}.$$
6. Пусть $$x+\frac{1}{x}=a.$$ Возведём в куб:
   $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=a^3$$
   $$x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=a^3$$
   $$x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=a^3$$
   Подставим $$x+\frac{1}{x}=a$$:
   $$x^3+\frac{1}{x^3}+3a=a^3$$
   $$x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a=a(a^2-3).$$

Ответ

1) $$x=0,\;2$$
2) $$x=-3,\;0$$
3) $$x=0,\;-\frac{3}{5}$$
4) $$x=0,\;2,\;4$$
5) $$x=0,\;\frac{3}{4},\;1$$
6) $$x^3+\frac{1}{x^3}=a(a^2-3).$$