Упр.502 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Разложить на множители:

$$3(x+y)(x-y)-(x+y)^2$$;
$$5(a-b)^2-(a+b)(b-a)$$;
$$(x+y)^3-x(x+y)^2$$;
$$a(a-b)^2-(b-a)^3$$.

Найти значение выражения:

$$x^2-\frac{x^3-4xy^2}{x^3-2x^2y+xy^2}\cdot\frac{x^2-2xy+y^2}{x-2y}$$ при $$x=-5;\ y=-\frac{1}{2}$$;
$$\frac{3}{2}-\frac{3n^2-6n+3}{2n^2+2n+2}:\frac{n-1}{n^3+n^2+n}$$ при $$n=\frac{1}{3}$$;
$$\left(\frac{3}{a-b}-\frac{3a}{b^2-a^2}\right):\frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}$$ при $$a=3\frac{1}{4};\ b=-0{,}75$$;
$$\left(\frac{mn}{m^2-n^2}+\frac{n}{2n-2m}\right)\cdot\frac{m^2-n^2}{2n}$$ при $$m=6\frac{1}{2};\ n=-1{,}5$$.

Подробный ответ

$$3(x+y)(x-y)-(x+y)^2=(x+y)\bigl(3(x-y)-(x+y)\bigr)$$
$$=(x+y)(3x-3y-x-y)=(x+y)(2x-4y)=2(x+y)(x-2y).$$
$$5(a-b)^2-(a+b)(b-a)=5(a-b)^2+(a+b)(a-b)$$
$$=(a-b)\bigl(5(a-b)+a+b\bigr)=(a-b)(5a-5b+a+b)$$
$$=(a-b)(6a-4b)=2(a-b)(3a-2b).$$
$$(x+y)^3-x(x+y)^2=(x+y)^2\bigl((x+y)-x\bigr)=y(x+y)^2.$$
$$a(a-b)^2-(b-a)^3=a(a-b)^2+(a-b)^3$$
$$=(a-b)^2\bigl(a+(a-b)\bigr)=(a-b)^2(2a-b).$$

$$x^2-\frac{x^3-4xy^2}{x^3-2x^2y+xy^2}\cdot\frac{x^2-2xy+y^2}{x-2y}$$
Разложим на множители:
$$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x-2y)(x+2y),$$
$$x^3-2x^2y+xy^2=x(x^2-2xy+y^2)=x(x-y)^2,$$
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$
Тогда
$$x^2-\frac{x(x-2y)(x+2y)}{x(x-y)^2}\cdot\frac{(x-y)^2}{x-2y}=x^2-(x+2y).$$
Подставим $$x=-5,\ y=-\frac12$$:
$$x^2-x-2y=25-(-5)-2\cdot\left(-\frac12\right)=25+5+1=31.$$
$$\frac32-\frac{3n^2-6n+3}{2n^2+2n+2}:\frac{n-1}{n^3+n^2+n}$$
$$3n^2-6n+3=3(n-1)^2,\qquad 2n^2+2n+2=2(n^2+n+1),$$
$$n^3+n^2+n=n(n^2+n+1).$$
Тогда
$$\frac32-\frac{3(n-1)^2}{2(n^2+n+1)}\cdot\frac{n(n^2+n+1)}{n-1}$$
$$=\frac32-\frac{3n(n-1)}2=\frac{3-3n^2+3n}{2}=\frac32(1-n^2+n).$$
При $$n=\frac13$$:
$$\frac32\left(1-\frac19+\frac13\right)=\frac32\cdot\frac{11}{9}=\frac{11}{6}.$$
$$\left(\frac{3}{a-b}-\frac{3a}{b^2-a^2}\right):\frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}$$
Так как $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b),$$ то
$$\frac{3}{a-b}-\frac{3a}{b^2-a^2}=\frac{3}{a-b}+\frac{3a}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{3(a+b)+3a}{(a-b)(a+b)}=\frac{6a+3b}{(a-b)(a+b)}.$$
Кроме того, $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$, значит
$$\frac{6a+3b}{(a-b)(a+b)}:\frac{6a+3b}{(a+b)^2}=\frac{a+b}{a-b}.$$
При $$a=3\frac14=\frac{13}{4},\ b=-0{,}75=-\frac34$$:
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\frac{13}{4}-\frac34}{\frac{13}{4}+\frac34}=\frac{\frac{10}{4}}{\frac{16}{4}}=\frac{10}{16}=\frac58.$$
$$\left(\frac{mn}{m^2-n^2}+\frac{n}{2n-2m}\right)\cdot\frac{m^2-n^2}{2n}$$
$$m^2-n^2=(m-n)(m+n),\qquad 2n-2m=2(n-m)=-2(m-n).$$
Тогда
$$\frac{mn}{(m-n)(m+n)}+\frac{n}{2n-2m}=\frac{mn}{(m-n)(m+n)}-\frac{n}{2(m-n)}$$
$$=\frac{2mn-n(m+n)}{2(m-n)(m+n)}=\frac{n(m-n)}{2(m-n)(m+n)}=\frac{n}{2(m+n)}.$$
Умножаем на $$\frac{m^2-n^2}{2n}=\frac{(m-n)(m+n)}{2n}$$:
$$\frac{n}{2(m+n)}\cdot\frac{(m-n)(m+n)}{2n}=\frac{m-n}{4}.$$
При $$m=6\frac12=\frac{13}{2},\ n=-1{,}5=-\frac32$$:
$$\frac{m-n}{4}=\frac{\frac{13}{2}-\left(-\frac32\right)}{4}=\frac{8}{4}=2.$$