Упр.50 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2023 года

Передние колёса детской машинки имеют длины окружности $$21\ \text{см}$$, а задние — $$33\ \text{см}$$. Найти наименьшее расстояние, которое должна проехать эта машинка, чтобы и передние, и задние колёса сделали целое число оборотов.

Задание учебника 2012 года

Доказать, что:

1) разность чисел $$8m-n$$ и $$5m-4n$$ делится на $$3$$, если $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа;

2) сумма числа $$5m-3n$$ и числа, противоположного числу $$m-7n$$, делится на $$4$$, если $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа;

3) при любых значениях $$a$$ значение выражения $$2(3a-5)-(7-(5-6a))$$ отрицательно;

4) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом.

Подробный ответ

Разложим длины окружностей на простые множители:
$$21=3\cdot 7,\qquad 33=3\cdot 11.$$
Наименьшее расстояние, которое должна проехать машинка, чтобы оба колеса сделали целое число оборотов, равно НОК чисел $$21$$ и $$33$$:
$$\operatorname{НОК}(21,33)=3\cdot 7\cdot 11=231.$$
Найдём разность:
$$(8m-n)-(5m-4n)=8m-n-5m+4n=3m+3n=3(m+n).$$
Следовательно, разность делится на $$3$$.
Найдём сумму:
$$(5m-3n)+(-(m-7n))=5m-3n-m+7n=4m+4n=4(m+n).$$
Следовательно, сумма делится на $$4$$.
Упростим выражение:
$$2(3a-5)-(7-(5-6a))=6a-10-(7-5+6a).$$
$$6a-10-(2+6a)=6a-10-2-6a=-12.$$
Полученное значение отрицательно при любых значениях $$a$$.
Пусть два нечётных числа имеют вид $$2n+1$$ и $$2n+3$$. Тогда их сумма равна:
$$(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1).$$
Это чётное число.