Упр.50 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Доказать, что:
1) разность чисел 8m-n и 5m-4n делится на 3, если m и n — натуральные числа;
2) сумма числа 5m-3n и числа, противоположного числу m-7n, делится на 4, если m и n — натуральные числа;
3) при любых значениях a значение выражения 2(3a-5)-(7-(5-6a)) отрицательно;
4) сумма любых двух нечетных чисел является четным числом.

1. Разложим длины окружностей на простые множители:

   $$21=3\cdot 7,\qquad 33=3\cdot 11.$$

   Наименьшее расстояние, которое должна проехать машинка, чтобы оба колеса сделали целое число оборотов, равно НОК чисел $21$ и $33$:

   $$\operatorname{НОК}(21,33)=3\cdot 7\cdot 11=231.$$

2. Найдём разность:

   $$ (8m-n)-(5m-4n)=8m-n-5m+4n=3m+3n=3(m+n). $$

   Следовательно, разность делится на $3$.

3. Найдём сумму:

   $$ (5m-3n)+(-(m-7n))=5m-3n-m+7n=4m+4n=4(m+n). $$

   Следовательно, сумма делится на $4$.

4. Упростим выражение:

   $$ 2(3a-5)-(7-(5-6a))=6a-10-(7-5+6a). $$

   $$ 6a-10-(2+6a)=6a-10-2-6a=-12. $$

   Полученное значение отрицательно при любых значениях $a$.

5. Пусть два нечётных числа имеют вид $2n+1$ и $2n+3$. Тогда их сумма равна:

   $$ (2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1). $$

   Это чётное число.

Ответ

1) $231$ см; 2) делится на $3$; 3) делится на $4$; 4) равно $-12$; 5) сумма любых двух нечётных чисел — чётное число.