Упр.479 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) (12•5^(2n+1)-8•5^2n+4•5^(2n-1) ) :(4•5^(2n-2) );
2) (36•?18?^n-8•2^(n-4)•9^n-3^(n+1)•6^(n+1) ) :?18?^(n-1).
Упростить выражение, если n — натуральное число:
1) 1/(a^2n-b^2n )+1/(a^n+b^n )-1/(a^n-b^n );
2) (a^n+b^n)/(a^2n+2a^n b^n+b^2n )+1/(a^n+b^n )-1/a^n .

1. $$\left(12\cdot 5^{2n+1}-8\cdot 5^{2n}+4\cdot 5^{2n-1}\right):\left(4\cdot 5^{2n-2}\right)$$

   Разделим каждое слагаемое числителя на $$4\cdot 5^{2n-2}$$:

   $$ \frac{12\cdot 5^{2n+1}}{4\cdot 5^{2n-2}} -\frac{8\cdot 5^{2n}}{4\cdot 5^{2n-2}} +\frac{4\cdot 5^{2n-1}}{4\cdot 5^{2n-2}} =3\cdot 5^3-2\cdot 5^2+5 $$

   $$ 3\cdot 125-2\cdot 25+5=375-50+5=330 $$

2. $$\left(36\cdot 18^n-8\cdot 2^{n-4}\cdot 9^n-3^{n+1}\cdot 6^{n+1}\right):18^{n-1}$$

   Преобразуем каждое слагаемое:

   $$ \frac{36\cdot 18^n}{18^{n-1}}-\frac{8\cdot 2^{n-4}\cdot 9^n}{18^{n-1}}-\frac{3^{n+1}\cdot 6^{n+1}}{18^{n-1}} $$

   $$ =36\cdot 18-8\cdot 2^{-3}\cdot 9-18^2 $$

   $$ =648-72\cdot \frac{1}{8}-324=648-9-324=315 $$

3. $$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}$$

   Так как $$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n)$$, получаем:

   $$ \frac{1}{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{1+a^n-b^n-(a^n+b^n)}{a^{2n}-b^{2n}} =\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}} $$

4. $$\frac{a^n+b^n}{a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}$$

   Заметим, что $$a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}=(a^n+b^n)^2$$. Тогда:

   $$ \frac{a^n+b^n}{(a^n+b^n)^2}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n} =\frac{1}{a^n+b^n}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n} $$

   $$ =\frac{2}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n} =\frac{2a^n-(a^n+b^n)}{a^n(a^n+b^n)} =\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)} $$

Ответ

1) $$330$$;
2) $$315$$;
3) $$\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}}$$;
4) $$\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)}$$.