Упр.460 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Найти значение алгебраического выражения $$\left(3x^3+4x^2y\right):x^2-\left(10xy+15y^2\right):(5y)$$ при $$x=2;\ y=-5$$.
2. Привести дроби к общему знаменателю:
   1) $$\frac{5a}{a^3-27},\ \frac{a-3}{a^2+3a+9}$$ и $$\frac{1}{a-3}$$;
   2) $$\frac{3}{x+2},\ \frac{x+1}{x^3+8}$$ и $$\frac{x+2}{x^2-2x+4}$$;
   3) $$\frac{2m}{(m-n)^3},\ \frac{2n}{(m-n)^2}$$ и $$\frac{1}{m^2-n^2}$$;
   4) $$\frac{1}{k^3+3k^2+3k+1},\ \frac{2}{k^2-1}$$ и $$\frac{3}{k^2+2k+1}$$.

1) Подставим значения $$x=2$$, $$y=-5$$:

$$(3x^3+4x^2y):x^2-(10xy+15y^2):(5y)$$
$$=\frac{3\cdot 2^3+4\cdot 2^2\cdot(-5)}{2^2}-\frac{10\cdot 2\cdot(-5)+15\cdot(-5)^2}{5\cdot(-5)}$$
$$=\frac{24-80}{4}-\frac{-100+375}{-25} =-14-(-11)=-3.$$

2) Приведём дроби к общему знаменателю.

1) $$\frac{5a}{a^3-27},\ \frac{a-3}{a^2+3a+9},\ \frac{1}{a-3}$$

Так как
$$a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9),$$
то общий знаменатель:
$$(a-3)(a^2+3a+9)=a^3-27.$$
Тогда
$$\frac{5a}{a^3-27}=\frac{5a}{a^3-27},$$
$$\frac{a-3}{a^2+3a+9}=\frac{(a-3)^2}{a^3-27},$$
$$\frac{1}{a-3}=\frac{a^2+3a+9}{a^3-27}.$$

2) $$\frac{3}{x+2},\ \frac{x+1}{x^3+8},\ \frac{x+2}{x^2-2x+4}$$

Разложим:
$$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).$$
Общий знаменатель:
$$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8.$$
Тогда
$$\frac{3}{x+2}=\frac{3(x^2-2x+4)}{x^3+8},$$
$$\frac{x+1}{x^3+8}=\frac{x+1}{x^3+8},$$
$$\frac{x+2}{x^2-2x+4}=\frac{(x+2)^2}{x^3+8}.$$

3) $$\frac{2m}{(m-n)^3},\ \frac{2n}{(m-n)^2},\ \frac{1}{m^2-n^2}$$

Так как
$$m^2-n^2=(m-n)(m+n),$$
то общий знаменатель:
$$(m-n)^3(m+n).$$
Тогда
$$\frac{2m}{(m-n)^3}=\frac{2m(m+n)}{(m-n)^3(m+n)},$$
$$\frac{2n}{(m-n)^2}=\frac{2n(m-n)(m+n)}{(m-n)^3(m+n)}=\frac{2n(m^2-n^2)}{(m-n)^3(m+n)},$$
$$\frac{1}{m^2-n^2}=\frac{(m-n)^2}{(m-n)^3(m+n)}.$$

4) $$\frac{1}{k^3+3k^2+3k+1},\ \frac{2}{k^2-1},\ \frac{3}{k^2+2k+1}$$

Разложим знаменатели:
$$k^3+3k^2+3k+1=(k+1)^3,$$
$$k^2-1=(k-1)(k+1),$$
$$k^2+2k+1=(k+1)^2.$$
Общий знаменатель:
$$(k-1)(k+1)^3.$$
Тогда
$$\frac{1}{k^3+3k^2+3k+1}=\frac{k-1}{(k-1)(k+1)^3},$$
$$\frac{2}{k^2-1}=\frac{2(k+1)^2}{(k-1)(k+1)^3},$$
$$\frac{3}{k^2+2k+1}=\frac{3(k+1)(k-1)}{(k-1)(k+1)^3}=\frac{3(k^2-1)}{(k-1)(k+1)^3}.$$

Ответ

1) $$-3$$;
2) $$\frac{5a}{a^3-27},\ \frac{(a-3)^2}{a^3-27},\ \frac{a^2+3a+9}{a^3-27}$$;
3) $$\frac{3(x^2-2x+4)}{x^3+8},\ \frac{x+1}{x^3+8},\ \frac{(x+2)^2}{x^3+8}$$;
4) $$\frac{2m(m+n)}{(m-n)^3(m+n)},\ \frac{2n(m^2-n^2)}{(m-n)^3(m+n)},\ \frac{(m-n)^2}{(m-n)^3(m+n)}$$;
5) $$\frac{k-1}{(k-1)(k+1)^3},\ \frac{2(k+1)^2}{(k-1)(k+1)^3},\ \frac{3(k^2-1)}{(k-1)(k+1)^3}$$.