Упр.440 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

2) Рассматривая площадь прямоугольника ABFE (рис.10,б), показать, что (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.
3) Рассматривая площадь прямоугольника BFKM (рис.10,б), показать, что (a+b)d=(a+b)c-(a+b)(c-d). Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить ее:
1) (12x^2-30xy)/(30x^2-12xy);
2) (36a^2+24ab)/(24a^2+36ab);
3) (m^3-3m^2 n)/(3m^2 n-3m^3 );
4) (a^3-2a^2 b)/(2a^3 b^2-a^4 b).

Подробный ответ

Площадь прямоугольника $$ABCD$$ можно найти как произведение его сторон:
$$S_{ABCD}=(a+b)(c+d).$$
С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольников:
$$S_{ABCD}=ac+bc+ad+bd.$$
Следовательно,
$$ (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd. $$
Для прямоугольника $$ABFE$$ имеем:
$$S_{ABFE}=(a+b)(c-d).$$
Его площадь можно представить как разность площадей:
$$S_{ABFE}=ac+bc-ad-bd.$$
Значит,
$$ (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd. $$
Для прямоугольника $$BFKM$$:
$$S_{BFKM}=d(a+b).$$
С другой стороны,
$$S_{BFKM}=S_{AMKF}-S_{ABFE}=(a+b)c-(a+b)(c-d).$$
Следовательно,
$$ (a+b)d=(a+b)c-(a+b)(c-d). $$
Сократим дроби, разложив числитель и знаменатель на множители.
1) $$\frac{12x^2-30xy}{30x^2-12xy}=\frac{6x(2x-5y)}{6x(5x-2y)}=\frac{2x-5y}{5x-2y}.$$
2) $$\frac{36a^2+24ab}{24a^2+36ab}=\frac{12a(3a+2b)}{12a(2a+3b)}=\frac{3a+2b}{2a+3b}.$$
3) $$\frac{m^3-3m^2n}{3m^2n-3m^3}=\frac{m^2(m-3n)}{3m^2(n-3m)}=\frac{m-3n}{3(n-3m)}.$$
4) $$\frac{a^3-2a^2b}{2a^3b^2-a^4b}=\frac{a^2(a-2b)}{a^3b(2b-a)}=\frac{a-2b}{ab(2b-a)}=-\frac{1}{ab}.$$