Упр.400 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Может ли при $$a>0$$ и $$b>0$$ значение многочлена:
   1) $$2ab+3b^2+1$$, $$a^2-b^2$$ быть числом отрицательным;
   2) $$b^2-4a^2$$, $$ab-a^2b^2$$ быть числом положительным?
2. Решить уравнение:
   1) $$x^3-x^2y-xy^2+y^3$$ при $$x=12{,}07$$; $$y=2{,}07$$;
   2) $$a^3+a^2b-ab^2-b^3$$ при $$a=7{,}37$$; $$b=2{,}63$$.

1) При $$a>0$$ и $$b>0$$:

$$2ab+3b^2+1>0,$$

так как каждое слагаемое положительно. Значит, это многочлен не может быть отрицательным.

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Так как $$a+b>0,$$ то знак выражения зависит от $$a-b$$. Следовательно, при $$a<b$$ значение многочлена будет отрицательным.

2) При $$a>0$$ и $$b>0$$:

$$b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a).$$

Так как $$b+2a>0,$$ то выражение будет положительным при $$b>2a.$$

$$ab-a^2b^2=ab(1-ab).$$

Так как $$ab>0,$$ то выражение будет положительным при $$1-ab>0,$ то есть при$$ab<1.$$

3) Вычислим значение многочлена:

$$x^3-x^2y-xy^2+y^3=(x+y)(x-y)^2.$$

При$$x=12{,}07$$и$$y=2{,}07$$получаем:

$$
(12{,}07+2{,}07)(12{,}07-2{,}07)^2=14{,}14\cdot 10^2=14{,}14\cdot 100=1414.
$$

4) Аналогично:

$$a^3+a^2b-ab^2-b^3=(a-b)(a+b)^2.$$

При$$a=7{,}37$$и$$b=2{,}63$$:

$$
(7{,}37-2{,}63)(7{,}37+2{,}63)^2=4{,}74\cdot 10^2=4{,}74\cdot 100=474.
$$

Ответ

1)$$2ab+3b^2+1$$— нет, не может;$$a^2-b^2$$— да, может, при$$a<b$$.

2)$$b^2-4a^2$$— да, может, при$$b>2a$$;$$ab-a^2b^2$$— да, может, при$$ab<1$$.

3)$$1414$$.

4)$$474$$.