Упр.368 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1) (35/48)^3•(6/7)^3•(1 3/5)^2;
2) (14/15)^4•(3/7)^4•(2,5)^3;
3) (5^3/6^2 )^4•(2/5)^5•(3/5)^7;
4) (7^4/?15?^2 )^3•(5/7)^6•(3/7)^5.
Доказать, что число (7n+1)^2-(2n-4)^2 делится на 15 при любом натуральном n.

1) Преобразуем смешанное число: $$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}.$$ Тогда

$$ \left(\frac{35}{48}\right)^3\cdot\left(\frac{6}{7}\right)^3\cdot\left(1\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{35\cdot 6}{48\cdot 7}\right)^3\cdot\left(\frac{8}{5}\right)^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^3\cdot\left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{5^3\cdot 8^2}{8^3\cdot 5^2} = \frac{5}{8}. $$

2) $$2{,}5=\frac{5}{2}.$$ Тогда

$$ \left(\frac{14}{15}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{7}\right)^4\cdot(2{,}5)^3 = \left(\frac{14\cdot 3}{15\cdot 7}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \left(\frac{2}{5}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{2^4\cdot 5^3}{5^4\cdot 2^3} = \frac{2}{5} = 0{,}4. $$

3) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^5\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^7 = \frac{5^{12}}{6^8}\cdot\frac{2^5}{5^5}\cdot\frac{3^7}{5^7} = \frac{2^5\cdot 3^7}{6^8} = \frac{2^5\cdot 3^7}{(2\cdot 3)^8} = \frac{1}{2^3\cdot 3} = \frac{1}{24}. $$

4) Аналогично:

$$ \left(\frac{7^4}{15^2}\right)^3\cdot\left(\frac{5}{7}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{7}\right)^5 = \frac{7^{12}}{15^6}\cdot\frac{5^6}{7^6}\cdot\frac{3^5}{7^5} = \frac{7^{12}\cdot 5^6\cdot 3^5}{15^6\cdot 7^{11}} = \frac{7\cdot 5^6\cdot 3^5}{(3\cdot 5)^6} = \frac{7\cdot 3^5}{3^6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}. $$

Докажем делимость:

$$ (7n+1)^2-(2n-4)^2 = \bigl((7n+1)-(2n-4)\bigr)\bigl((7n+1)+(2n-4)\bigr) $$

$$ =(5n+5)(9n-3) = 5(n+1)\cdot 3(3n-1) = 15(n+1)(3n-1). $$

Следовательно, выражение делится на $$15$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$\frac{5}{8}$$; 2) $$\frac{2}{5}=0{,}4$$; 3) $$\frac{1}{24}$$; 4) $$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$$; выражение делится на $$15$$ при любом натуральном $$n$$.