Упр.367 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\frac{6^{12}\cdot4^{12}}{3^{12}\cdot8^{12}}$$; 2) $$\frac{4^{10}\cdot3^{10}}{2^{10}\cdot6^{10}}$$; 3) $$\frac{|15|^4}{3^4\cdot5^2\cdot25}$$; 4) $$\frac{4^{16}}{8^{10}}$$.
2. Доказать, что разность квадратов любого натурального числа (больше 1) и числа, ему предшествующего в ряду натуральных чисел, есть нечётное число.

1. $$\frac{6^{12}\cdot 4^{12}}{3^{12}\cdot 8^{12}}=\frac{(6\cdot 4)^{12}}{(3\cdot 8)^{12}}=\frac{24^{12}}{24^{12}}=1.$$
2. $$\frac{4^{10}\cdot 3^{10}}{2^{10}\cdot 6^{10}}=\frac{(4\cdot 3)^{10}}{(2\cdot 6)^{10}}=\frac{12^{10}}{12^{10}}=1.$$
3. $$\frac{15^4}{3^4\cdot 5^2\cdot 25}=\frac{(3\cdot 5)^4}{3^4\cdot 5^2\cdot 5^2}=\frac{3^4\cdot 5^4}{3^4\cdot 5^4}=1.$$
4. $$\frac{4^{16}}{8^{10}}=\frac{(2^2)^{16}}{(2^3)^{10}}=\frac{2^{32}}{2^{30}}=2^2=4.$$

Пусть дано натуральное число $$n$$, тогда предыдущее ему число равно $$n-1$$. Рассмотрим разность квадратов:

$$n^2-(n-1)^2=(n-(n-1))(n+(n-1))=1\cdot(2n-1)=2n-1.$$

Число $$2n-1$$ нечётное, значит, разность квадратов любого натурального числа, большего 1, и предыдущего ему числа — нечётное число.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$; 4) $$4$$; разность квадратов равна $$2n-1$$, это нечётное число.