Упр.350 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Разложить многочлен на множители:
1) a^3+2a^2-3;
2) x^3-7x+6;
3) a^4+2a^3+1;
4) 2a^4-a^2-1.

Пусть ребро первого куба равно $$a$$, тогда его объём:

$$V=a^3.$$

Если ребро второго куба составляет $$\frac12$$ ребра первого, то его ребро равно $$\frac12a$$, а объём:

$$V=\left(\frac12a\right)^3=\frac18a^3.$$

Значит, объём второго куба составляет $$\frac18$$ объёма первого.

Если ребро второго куба составляет $$\frac1{10}$$ ребра первого, то его ребро равно $$\frac1{10}a$$, а объём:

$$V=\left(\frac1{10}a\right)^3=\frac1{1000}a^3.$$

Значит, объём второго куба составляет $$\frac1{1000}$$ объёма первого.

Разложим многочлены на множители:

1. $$a^3+2a^2-3=a^3+3a^2-a^2-3=(a^3-a^2)+(3a^2-3)$$

   $$=a^2(a-1)+3(a^2-1)=a^2(a-1)+3(a-1)(a+1)$$

   $$=(a-1)\bigl(a^2+3(a+1)\bigr)=(a-1)(a^2+3a+3).$$

2. $$x^3-7x+6=x^3-6x-x+6=(x^3-x)-(6x-6)$$

   $$=x(x^2-1)-6(x-1)=x(x-1)(x+1)-6(x-1)$$

   $$=(x-1)\bigl(x(x+1)-6\bigr)=(x-1)(x^2+x-6)$$

   $$=(x-1)(x+3)(x-2).$$

3. $$a^4+2a^3+1=a^4+a^3+a^3+a^2-a^2+1$$

   $$=a^3(a+1)+a^2(a+1)-(a^2-1)$$

   $$=(a+1)(a^3+a^2)-(a-1)(a+1)$$

   $$=(a+1)(a^3+a^2-a+1).$$

4. $$2a^4-a^2-1=2a^4-2a^2+a^2-1=2a^2(a^2-1)+(a^2-1)$$

   $$=(a^2-1)(2a^2+1)=(a-1)(a+1)(2a^2+1).$$

Ответ

1) $$\frac18$$; $$\frac1{1000}$$.

2) $$a^3+2a^2-3=(a-1)(a^2+3a+3).$$

3) $$x^3-7x+6=(x-1)(x+3)(x-2).$$

4) $$a^4+2a^3+1=(a+1)(a^3+a^2-a+1).$$

5) $$2a^4-a^2-1=(a-1)(a+1)(2a^2+1).$$