Упр.277 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

2) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч. Доказать равенство:
1) (n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2;
2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2;
3) (n-3)(n-2)(n-1)n+1=(n^2-3n+1)^2;
4) (n^2-2n+1)(n^2+2n+1)=(n^2-1)^2.

Подробный ответ

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению она шла со скоростью $$x+3$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-3$$ км/ч.
Составим уравнение по условию задачи:
$$4{,}5(x-3)+2{,}1(x+3)=52{,}2$$
$$4{,}5x-13{,}5+2{,}1x+6{,}3=52{,}2$$
$$6{,}6x-7{,}2=52{,}2$$
$$6{,}6x=59{,}4$$
$$x=9$$
Значит, скорость лодки в стоячей воде равна $$9$$ км/ч.
Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению она шла со скоростью $$x+3{,}5$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-3{,}5$$ км/ч.
По условию путь по течению на $$13{,}2$$ км длиннее, значит:
$$2{,}4(x+3{,}5)-3{,}2(x-3{,}5)=13{,}2$$
$$2{,}4x+8{,}4-3{,}2x+11{,}2=13{,}2$$
$$-0{,}8x+19{,}6=13{,}2$$
$$-0{,}8x=-6{,}4$$
$$x=8$$
Следовательно, скорость лодки равна $$8$$ км/ч.
Докажем равенства.
1)
$$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-3n+2)(n^2+n)+1 $$
Удобнее сгруппировать так:
$$ (n-2)(n+1)=n^2-n-2,\quad (n-1)n=n^2-n $$
Тогда
$$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-n-2)(n^2-n)+1 $$
Раскроем скобки:
$$ (n^2-n-2)(n^2-n)+1 = (n^2-n)^2-2(n^2-n)+1 $$
$$ = n^4-2n^3+n^2-2n^2+2n+1 = n^4-2n^3-n^2+2n+1 $$
С другой стороны,
$$ (n^2-n-1)^2 = n^4-2n^3-n^2+2n+1 $$
Следовательно,
$$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2. $$
2)
$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $$
Обозначим $$a=n^2+3n$$. Тогда
$$ a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2 $$
Значит,
$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2. $$
3)
$$ (n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-5n+6)(n^2-n)+1 $$
Удобно представить произведение как
$$ (n^2-3n+1)^2-1 $$
Проверим раскрытием:
$$ (n^2-3n+1)^2 = n^4-6n^3+11n^2-6n+1 $$
Тогда
$$ (n^2-3n+1)^2-1 = n^4-6n^3+11n^2-6n $$
И действительно,
$$ (n-3)(n-2)(n-1)n = n^4-6n^3+11n^2-6n $$
Следовательно,
$$ (n-3)(n-2)(n-1)n+1=(n^2-3n+1)^2. $$
4)
$$ (n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2 $$
Левая часть — это произведение разности и суммы:
$$ (n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = \bigl((n^2+1)-2n\bigr)\bigl((n^2+1)+2n\bigr) $$
$$ = (n^2+1)^2-(2n)^2 = n^4+2n^2+1-4n^2 = n^4-2n^2+1 $$
А
$$ (n^2-1)^2=n^4-2n^2+1. $$
Значит, равенство верно.