Упр.277 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
- Лодка шла против течения реки $$4{,}5\ \text{ч}$$ и по течению $$2{,}1\ \text{ч}$$. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она прошла всего $$52{,}2\ \text{км}$$, а скорость течения реки равна $$3\ \text{км/ч}$$.
- Лодка шла по течению реки $$2{,}4\ \text{ч}$$ и против течения $$3{,}2\ \text{ч}$$. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на $$13{,}2\ \text{км}$$ длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки, если скорость течения реки равна $$3{,}5\ \text{км/ч}$$.
Доказать равенство:
- $$\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+1=\left(n^2-n-1\right)^2$$;
- $$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=\left(n^2+3n+1\right)^2$$;
- $$\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n+1=\left(n^2-3n+1\right)^2$$;
- $$\left(n^2-2n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)=\left(n^2-1\right)^2$$.
Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению она шла со скоростью $$x+3$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-3$$ км/ч.
Составим уравнение по условию задачи:
$$4{,}5(x-3)+2{,}1(x+3)=52{,}2$$
$$4{,}5x-13{,}5+2{,}1x+6{,}3=52{,}2$$
$$6{,}6x-7{,}2=52{,}2$$
$$6{,}6x=59{,}4$$
$$x=9$$
Значит, скорость лодки в стоячей воде равна $$9$$ км/ч.
Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению она шла со скоростью $$x+3{,}5$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-3{,}5$$ км/ч.
По условию путь по течению на $$13{,}2$$ км длиннее, значит:
$$2{,}4(x+3{,}5)-3{,}2(x-3{,}5)=13{,}2$$
$$2{,}4x+8{,}4-3{,}2x+11{,}2=13{,}2$$
$$-0{,}8x+19{,}6=13{,}2$$
$$-0{,}8x=-6{,}4$$
$$x=8$$
Следовательно, скорость лодки равна $$8$$ км/ч.
Докажем равенства.
1)
$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-3n+2)(n^2+n)+1$$
Удобнее сгруппировать так:
$$(n-2)(n+1)=n^2-n-2,\quad (n-1)n=n^2-n$$
Тогда
$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-n-2)(n^2-n)+1$$
Раскроем скобки:
$$(n^2-n-2)(n^2-n)+1 = (n^2-n)^2-2(n^2-n)+1$$
$$= n^4-2n^3+n^2-2n^2+2n+1 = n^4-2n^3-n^2+2n+1$$
С другой стороны,
$$(n^2-n-1)^2 = n^4-2n^3-n^2+2n+1$$
Следовательно,
$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2.$$
2)
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$$
Обозначим $$a=n^2+3n$$. Тогда
$$a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2$$
Значит,
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$
3)
$$(n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-5n+6)(n^2-n)+1$$
Удобно представить произведение как
$$(n^2-3n+1)^2-1$$
Проверим раскрытием:
$$(n^2-3n+1)^2 = n^4-6n^3+11n^2-6n+1$$
Тогда
$$(n^2-3n+1)^2-1 = n^4-6n^3+11n^2-6n$$
И действительно,
$$(n-3)(n-2)(n-1)n = n^4-6n^3+11n^2-6n$$
Следовательно,
$$(n-3)(n-2)(n-1)n+1=(n^2-3n+1)^2.$$
4)
$$(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2$$
Левая часть — это произведение разности и суммы:
$$(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = \bigl((n^2+1)-2n\bigr)\bigl((n^2+1)+2n\bigr)$$
$$= (n^2+1)^2-(2n)^2 = n^4+2n^2+1-4n^2 = n^4-2n^2+1$$
А
$$(n^2-1)^2=n^4-2n^2+1.$$
Значит, равенство верно.
Ответ
1) $$9$$ км/ч; 2) $$8$$ км/ч; 1)–4) равенства верны.
