Упр.240 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Задача

Сумма цифр двузначного числа меньше 10. Доказать, что результат умножения такого числа на 11 получится, если между цифрами этого числа вставить их сумму ($$53\cdot 11=583$$).
Привести многочлен к стандартному виду:

1) $$2m\cdot 4n-3a\cdot 2b-0{,}2n\cdot 5m+b\cdot 5a-5nm+8ab$$;

2) $$13ab-0{,}2xy-2a\cdot 5b+6x\cdot 0{,}2y+a(-3)b$$;

3) $$2abc\cdot 5a+1\frac{5}{7}a^2\cdot \frac{7}{12}bc-\left(2\frac{2}{3}\right)ab\left(-\frac{3}{8}\right)a$$;

4) $$3nmk\cdot 4n-\frac{3}{8}nm\left(2\frac{2}{3}\right)nk+\frac{2}{9}n^2m\left(-4\frac{1}{2}\right)k$$.

Подробный ответ

Пусть двузначное число имеет вид $$10x+y,$$ где $$x$$ — цифра десятков, $$y$$ — цифра единиц. По условию $$x+y<10.$$

Тогда

$$11(10x+y)=110x+11y=100x+10x+10y+y=100x+10(x+y)+y.$$

Число $$100x+10(x+y)+y$$ получается, если между цифрами числа $$10x+y$$ вставить их сумму $$x+y$$. Значит, утверждение доказано.

$$2m\cdot 4n-3a\cdot 2b-0{,}2n\cdot 5m+b\cdot 5a-5nm+8ab$$
$$=8mn-6ab-mn+5ab-5mn+8ab$$
$$=2mn+7ab.$$
$$13ab-0{,}2xy-2a\cdot 5b+6x\cdot 0{,}2y+a\cdot(-3)b$$
$$=13ab-0{,}2xy-10ab+1{,}2xy-3ab$$
$$=xy.$$
$$2abc\cdot 5a+1\frac{5}{7}a^2\cdot \frac{7}{12}bc-\left(2\frac{2}{3}\right)ab\left(-\frac{3}{8}\right)a$$
$$=10a^2bc+\frac{12}{7}a^2\cdot \frac{7}{12}bc+\frac{8}{3}ab\cdot \frac{3}{8}a$$
$$=10a^2bc+a^2bc+a^2b$$
$$=11a^2bc+a^2b.$$
$$3nmk\cdot 4n-\frac{3}{8}nm\left(2\frac{2}{3}\right)nk+\frac{2}{9}n^2m\left(-4\frac{1}{2}\right)k$$
$$=12n^2mk-\frac{3}{8}nm\cdot \frac{8}{3}nk-\frac{2}{9}n^2m\cdot \frac{9}{2}k$$
$$=12n^2mk-n^2mk-n^2mk$$
$$=10n^2mk.$$