Это надо знать Глава 7(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Это надо знать (основные теоретические сведения)
1 Приведите пример одночлена стандартного вида. Чему равен его коэффициент?
2 Какое выражение называют многочленом? Приведите пример двучлена; трёхчлена.
3 На примере многочлена 5ху2 — х2у — 2ху * 3у + 7х2у объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.
4 На примере многочленов 3×2 — 8x + 4 и 2×2 + 6x — 3 покажите, как находят сумму и разность многочленов.
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению 2ab(4a -5b — 1).
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению (4x — 3у)(2у + x).
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

1. Одночлен стандартного вида — это произведение числового коэффициента и степеней переменных. Например, $$3ab^2$$. Его коэффициент равен $$3$$.

2. Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

   Примеры двучленов: $$5b-c$$, $$3a^2-b^2$$, $$3xy+y$$.

   Примеры трёхчленов: $$6x+5y+c$$, $$4x-7+b$$, $$a^3-2a^2+a$$.

3. Приведём многочлен к стандартному виду:

   $$ 5xy^2-x^2y-2xy\cdot 3y+7x^2y =5xy^2-x^2y-6xy^2+7x^2y $$
   $$ =-xy^2+6x^2y =6x^2y-xy^2. $$

   Сначала выполняют умножение, затем приводят подобные члены.

4. Сумма многочленов:

   $$ (3x^2-8x+4)+(2x^2+6x-3) =3x^2-8x+4+2x^2+6x-3 =5x^2-2x+1. $$

   Разность многочленов:

   $$ (3x^2-8x+4)-(2x^2+6x-3) =3x^2-8x+4-2x^2-6x+3 =x^2-14x+7. $$

5. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

   $$ 2ab(4a-5b-1)=8a^2b-10ab^2-2ab. $$

6. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

   $$ (4x-3y)(2y+x)=8xy+4x^2-6y^2-3xy=4x^2+5xy-6y^2. $$

7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности:

   $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, $$
   $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. $$

   Докажем первую формулу:

   $$ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2. $$

   Докажем вторую формулу:

   $$ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2. $$

Ответ

1) $$3ab^2$$, коэффициент $$3$$.
2) Многочлен — алгебраическая сумма одночленов; примеры: $$5b-c$$, $$6x+5y+c$$.
3) $$6x^2y-xy^2$$.
4) $$5x^2-2x+1$$; $$x^2-14x+7$$.
5) $$8a^2b-10ab^2-2ab$$.
6) $$4x^2+5xy-6y^2$$.
7) $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$$, $$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$$.