Это надо знать Глава 7 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Это надо знать (основные теоретические сведения)
1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?
2 На основе какого свойства действия выполняетсявынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена 12ab2 + 3a2b, как вынести за скобки общий множитель.
3 Объясните на примере многочлена ax — bx + ay — by, как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.
4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.
5 Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения 8 — 27у3, как применить эту формулу для разложения его на множители.
6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения 1 + 1/8*а3, как применить эту формулу для разложения его на множители.
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел.

1. Способы разложения многочлена на множители:

   • вынесение общего множителя за скобки;
   • способ группировки;
   • применение формул сокращённого умножения.

2. Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства умножения.

   $$12ab^2+3a^2b=3ab(4b+a).$$

3. Разложим многочлен способом группировки:

   $$ax-bx+ay-by=(ax-bx)+(ay-by)=x(a-b)+y(a-b)=(a-b)(x+y).$$

   Возможна и другая группировка:

   $$ax-bx+ay-by=(ax+ay)-(bx+by)=a(x+y)-b(x+y)=(x+y)(a-b).$$

4. Формула разности квадратов:

   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

   Проверка:

   $$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$$

   Примеры:

   $$49a^2-36b^2=(7a-6b)(7a+6b),$$
   $$9a^2-4b^2=(3a-2b)(3a+2b).$$

5. Формула разности кубов:

   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

   Проверка:

   $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3.$$

   Пример:

   $$8-27y^3=2^3-(3y)^3=(2-3y)(2^2+2\cdot 3y+(3y)^2)=(2-3y)(4+6y+9y^2).$$

6. Формула суммы кубов:

   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

   Проверка:

   $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3.$$

   Пример:

   $$1+\frac18a^3=1^3+\left(\frac a2\right)^3=\left(1+\frac a2\right)\left(1-\frac a2+\frac14a^2\right).$$

7. Произведение двух или нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ

1) Вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения.
2) $$12ab^2+3a^2b=3ab(4b+a).$$
3) $$ax-bx+ay-by=(a-b)(x+y).$$
4) $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
5) $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad 8-27y^3=(2-3y)(4+6y+9y^2).$$
6) $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\quad 1+\frac18a^3=\left(1+\frac a2\right)\left(1-\frac a2+\frac14a^2\right).$$
7) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.