Это надо знать Глава 6 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

2. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.
3. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.
4. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.
5. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.
6. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.
7. Приведите пример одночлена стандартного вида. Чему равен его коэффициент?
8. Какое выражение называют многочленом? Приведите пример двучлена; трёхчлена.
9. На примере многочлена 5ху^2 — х^2 у — 2ху · 3у + 7х^2 у объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.
10. На примере многочленов 3x^2 — 8x + 4 и 2х^2 + 6х — 3 покажите, как находят сумму и разность многочленов.
11. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению 2аb(4а — 5b — 1).
12. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению (4x — 3y)(2у + х).
13. Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

1. Степенью числа $$a$$ с натуральным показателем $$n>1$$ называют произведение $$n$$ множителей, каждый из которых равен $$a$$:

   $$a^n=a\cdot a\cdot \ldots \cdot a.$$

2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают:

   $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$

   Пример:

   $$a^3\cdot a^5=a^{3+5}=a^8.$$

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя:

   $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \quad a\ne 0.$$

   Пример:

   $$\frac{t^{15}}{t^5}=t^{15-5}=t^{10}.$$

4. При возведении степени в степень показатели перемножают:

   $$\left(a^m\right)^n=a^{mn}.$$

   Пример:

   $$\left(y^2\right)^8=y^{2\cdot 8}=y^{16}.$$

5. При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают:

   $$\left(ab\right)^n=a^n b^n.$$

   Пример:

   $$\left(cd\right)^8=c^8d^8.$$

6. При возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

   $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\ne 0.$$

   Пример:

   $$\left(\frac{c}{d}\right)^3=\frac{c^3}{d^3}.$$

7. Пример одночлена стандартного вида: $$3ab^2$$. Его коэффициент равен $$3$$.

8. Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

   Примеры:

   двучлен: $$5b-c$$, $$3a^2-b^2$$, $$3xy+y$$;

   трёхчлен: $$6x+5y+c$$, $$4x-7+b$$, $$a^3-2a^2+a$$.

9. Приведём многочлен к стандартному виду:

   $$5xy^2-x^2y-2xy\cdot 3y+7x^2y=5xy^2-x^2y-6xy^2+7x^2y$$

   $$=-xy^2+6x^2y=6x^2y-xy^2.$$

10. Сумма многочленов:

    $$\left(3x^2-8x+4\right)+\left(2x^2+6x-3\right)=5x^2-2x+1.$$

    Разность многочленов:

    $$\left(3x^2-8x+4\right)-\left(2x^2+6x-3\right)=x^2-14x+7.$$

11. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить:

    $$2ab(4a-5b-1)=8a^2b-10ab^2-2ab.$$

12. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить:

    $$\left(4x-3y\right)\left(2y+x\right)=8xy+4x^2-6y^2-3xy=4x^2+5xy-6y^2.$$

13. Формулы квадрата суммы и квадрата разности:

    $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2,$$

    $$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2.$$

    Доказательство:

    $$\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2,$$

    $$\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$$

Ответ

1) $$a^n=a\cdot a\cdot \ldots \cdot a$$; 2) $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$; 3) $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$, $$a\ne 0$$; 4) $$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$$; 5) $$\left(ab\right)^n=a^n b^n$$; 6) $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$, $$b\ne 0$$; 7) $$3ab^2$$, коэффициент $$3$$; 8) многочлен — алгебраическая сумма одночленов; 9) $$6x^2y-xy^2$$; 10) сумма $$5x^2-2x+1$$, разность $$x^2-14x+7$$; 11) $$8a^2b-10ab^2-2ab$$; 12) $$4x^2+5xy-6y^2$$; 13) $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$$, $$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$$.